热门试卷

解：（1）过点D作DE⊥A1C于E点，取AC的中点F，连BF，EF．

∵面DA1C⊥面AA1C1C且相交于A1C，面DA1C内的直线DE⊥A1C，

∴DE⊥面AA1C1C．（3分）

又∵面BAC⊥面AA1C1C且相交于AC，且△ABC为等腰三角形，易知BF⊥AC，

∴BF⊥面AA1C1C．由此知：DE∥BF，从而有D，E，F，B共面，又易知BB1∥面AA1C1C，

故有DB∥EF，从而有EF∥AA1，又点F是AC的中点，

所以，所以D点为棱BB1的中点．（6分）

（2）相等．ABC-A1B1C1为直三棱柱，

∴BB1⊥A1B1，BB1⊥BC，

又A1B1⊥B1C1，BC⊥AB，

∴A1B1⊥平面B1C1CD，BC⊥平面A1ABD（9分）

∴

∵D为BB1中点，

∴=（12分）

（1）证明：设BD交AC于M，连结ME．

∵ABCD为正方形，所以M为AC中点，

又∵E为A′A的中点，

∴ME为△A′AC的中位线

∴ME∥A′C

又∵ME⊂平面BDE，A′C⊄平面BDE

∴A′C∥平面BDE．…..（4分）  

（2）证明：∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC

∵A′A⊥平面ABCE，BD⊥平面ABCD，

∴A′A⊥BD．

又AC∩A′A=A，

∵AC⊂面A′AC，AA′⊂面A′AC，∴BD⊥平面A′AC

∵BD⊂平面BDE

∴平面A′AC⊥平面BDE．…．（8分）

（3）解：V=…（12分）

证明：（Ⅰ）连接BD交AC于点O

∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD

又∵AD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD

∴AC⊥A1D，A1D∩BD=D∴AC⊥平面A1BD，A1B⊂平面A1BD

∴AC⊥A1B…（5分）

解：（Ⅱ）

∵AD1⊥平面ABCD∴AD1为几何体A1-ABD的高

∴…（7分）

∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1∴CC1∥AA1，CC1=AA1

∴四边形A1C1CA是平行四边形

∴AC∥A1C1由（1）得AC⊥平面A1BD∴A1C1⊥平面A1BD

∴A1C1为几何体C1-A1BD的高

∵AD1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD

∴BD⊥A1D

∴…（10分）

∴…（12分）

（Ⅰ）证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，

因为ABCD为正方形，所以BC⊥CD，

因为PD∩CD=D，

所以BC⊥平面PCD，

因为DE⊂平面PCD，

所以BC⊥DE，

因为PD=CD，点E是PC的中点，

所以DE⊥PC，

因为PC∩BC=C，

所以DE⊥平面PBC，

由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，

即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB；

（Ⅱ）由已知，PD是阳马P-ABCD的高，所以V1==．

由（Ⅰ）知，DE是鳖臑D-BCE的高，BC⊥CE，

所以V2==．

因为PD=CD，点E是PC的中点，

所以DE=CE=CD，

所以===4

（1）证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，

∴A1C1⊥A1B1，

∵顶点在A1底面ABC上的射影恰为点B，

∴A1B⊥AC，

∴A1B⊥A1C1，

∴A1C1⊥平面ABA1B1；

（2）解：∵=AB×A1B=2×2=4，

取A1B1的中点R，连接PR，则PR∥A1C1，PR=A1C1=1，

∵A1C1⊥平面AA1B1B，∴PR⊥平面AA1B1B，

∴点P到平面AA1B1B的距离d=1，∴=×d=．

（Ⅰ）证明：取EB的中点G，连接FG，CG，

∵F为EA的中点，

∴FG∥AB，FG=AB，

∵AB∥CD，AB=2CD，

∴FG∥CD，FG=CD，

∴四边形CDFG为平行四边形，

∴DF∥CG，

∵DF⊄平面EBC，CG⊂平面EBC，

∴DF∥平面EBC；

（Ⅱ）解：等腰梯形ABCD中，作CH⊥AB于H，则BH=，

在Rt△BHC中，∠ABC=60°，则CH=tan60°=，

即点C到AB的距离d=，则点B到CD的距离为，

∵EA⊥平面ACD，

∴三棱锥B-CDE的体积为VE-BDC==．