热门试卷

解：（1）由题意，AC=2，A1C1=4，正三棱台高为，

∴S上=3，S下=12，

∴V=（S上++S下）h=21；

（2）设O，O1分别是上下底面的中心，E是BC中点，F是B1C1中点．以O1为原点，过O1平行B1C1的线为x轴建立空间直角坐标系O1-xyz．C1（-2，2，0），C（-，1，），E（0，1，），A1（0，-4，0），B1（2，2，0），

∴=（0，1，），=（2，6，0），

设平面EA1B1的一个法向量=（x，y，z），则

取=（-3，，-5），取平面A1B1C1的一个法向量=（0，0，1），设所求角为θ，则cosθ=；

（3）将梯形A1ACC1绕A1C1旋转到A1A′C′C1，使其与△A1B1C1成平角，

cos∠C′C1A1=cos∠CC1A1=，sin∠CC1A1=，

∴cos∠CC1B1=cos（∠CC1A1+）=-，

△C′C1B1中，C′C1=，C1B1=4，

由余弦定理得C′B1=，即CP+PB1的最小值为．

（1）证明：∵DD1⊥面ABCD∴AC⊥DD1（2分）

又∵BD⊥AC，（3分）

且DD1，BD是平面B1BD1D上的两条相交直线（5分）

∴AC⊥平面B1BDD1（6分）

解：（2）=（12分）

（其他解法酌情给分）

（Ⅰ）证明：∵四边形AEC1A1是正方形，

∴AA1∥EC1，

∵AA1⊄平面C1DE，EC1⊂平面C1DE，

∴AA1∥平面C1DE；

同理AB∥平面C1DE；

∵AB∩AA1=A

∴平面ABB1A1∥平面C1DE

∴AB1∥平面C1DE；

（Ⅱ）解：取AB中点F，连接EF，B1F．

∵F为AB中点，AB=2AE=2DE=2，

∴AF=A1B1且AF∥A1B1，

∴四边形AFB1A1为平行四边形，

∴AA1∥FB1∥EC1，

∵四边形A1AEG为正方形，

∴A1A⊥AE，

∵AB∩AE=A，

∴AA1⊥平面ABDE，且平面A1B1C∥平面AFE，

∴几何体A1BC1-AFE为直棱柱，体积为1×（×12）=；

同理BB1F-DC1E为直棱柱，体积为=；

∴此几何体的体积为．

证明：∵CD⊥AB，CD⊥BC，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC

又∵CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC，

∴BH⊥平面ACD，

设AB=a，在Rt△BCD中，BD=，

∴BH===，

∴a=1

△ACD中，AC=，CD=1，AD=，

∴AC⊥CD，

∴S△ACD==，

∴V==

解：（1）如图，直线EM∥平面ABCD．

事实上：

∵E，F，G分别为PA，PB，PC的中点，

∴EF∥AB，FG∥BC，

∴平面EFG∥平面ABC，

∵点M∈平面EFG，且与点E不重合，∴直线EM∥平面ABCD；

（2）∵直线PB⊥平面EFG，∴面PBC⊥面ABCD，

又面PBC∩面ABCD=BC，

在面ABCD内过D作DN⊥BC，垂足为N，连接PN，则∠DPN为直线PD与平面PBC的夹角为30°，

在直角梯形ABCD中，由AB=DC=AD=1，得sin，cos，

∴，，

DN=DC，

∴，

∴==．

，

∴．

解：（1）连MO，过M作MD⊥AO交AO于点D，连DC．

又，∴．又OC=4，OM=3．

∵MD∥PO，∴∠DMC等于异面直线MC与PO所成的角或其补角．

∵MO∥PB，∴∠MOC=60°或120°．

当∠MOC=60°时，

∴．

∴，

当∠MOC=120°时，

∴．

∴，

综上，异面直线MC与PO所成的角余弦值等于

或．

（2）∵三棱锥M-ACO的高为MD且长为，

要使得三棱锥M-ACO的体积最大只要底面积△OCA的面积最大．

而当OC⊥OA时，△OCA的面积最大．

又OC⊥OP，此时OC⊥平面PAB，

∴OC⊥PB，θ=90°．