空间几何体的表面积与体积_章节学习

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题型：填空题

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填空题

正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥B-A1B1C1公共部分的体积等于______．

正确答案

解析

解：如图所示，

由正方体可得：BB1⊥平面A1B1C1D1．

===．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

三棱锥P-ABC的高PO=8，AC=BC=3，∠ACB=30°，M、N分别在BC和PO上，且CM=x，PN=3CM，试问下面的四个图象中，那个图象大致描绘了三棱锥N-AMC的体积V与x的变化关系（x∈[0，3]）（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：底面三角形ABC的边AC=3，CM=x，∠ACB=30°，

∴△ACM的面积为：=

又∵三棱锥N-AMC的高NO=PO-PN=8-3x

所以三棱锥N-AMC的体积V==

当x=时取得最大值，开口向下的二次函数，

故选A．

1

题型：填空题

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填空题

已知球的直径AB=2，C、D是该球球面上的两点，且BC=CD=DB=，则三棱锥A-BCD的体积为______．

正确答案

解析

解：∵AB是球的直径，D、C两点在球面上

∴∠ACB=∠ADB=90°

∵AB=2，BC=BD=

∴AC=AD==CD

取CD中点E，连接AE、BE

∵等边△ACD中，AE⊥CD，等边△BCD中，BE⊥CD，BE∩AE=E

∴CD⊥平面ABE

∵△ABE中，BE=AE=×=，AB=2

∴△ABE中的面积S=

由此可得三棱锥A-BCD的体积V=VC-ABE+VD-ABE=S△ABE•CE+S△ABE•DE=S△ABE•CD=××=

故答案为：

1

题型：填空题

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填空题

在半径为15的球内有一个底面边长为的内接正三棱锥，则此正三棱锥的体积为______．

正确答案

或

解析

解：如图设球的球心为O，内接正三棱锥为E-BCD，

则三角形BCD为正三角形，边长BC=，外接圆半径AC==12

球的半径OC=OE=15

（1）若E、A分别在球心O的两侧（如图1），则在Rt△OAC中，OA===9

∴正三棱锥为E-BCD的高EA=OE+OA=15+9=24

∴正三棱锥为E-BCD的体积

=

（2）若E、A分别在球心O的同侧（如图2），则

在Rt△OAC中，OA===9

∴正三棱锥为E-BCD的高EA=OE-OA=15-9=6

∴正三棱锥为E-BCD的体积=

故答案为或

1

题型：填空题

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填空题

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=2．若存在各棱长均相等的四面体P1P2P3P4，其中P1，P2，P3，P4分别在棱AB，A1B1，C1D1，CD所在的直线上，则此长方体的体积为______．

正确答案

4

解析

解：若各棱长均相等的四面体P1P2P3P4，其中P1，P2，P3，P4分别在棱AB，A1B1，C1D1，CD所在的直线上，

则棱AB，A1B1，C1D1，CD所在的直线应为某正四棱柱的四条侧棱所在的直线

∵AD=2，

∴A1A=2

故此长方体的体积V=2×2×1=4

故答案为：4

1

题型：简答题

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简答题

正三棱锥P-ABC各顶点都在一个半径为2的球面上，球心到底面ABC的距离为1，求此正三棱锥P-ABC的体积．

正确答案

解：△ABC所在小圆半径的高为，

三角形的边长为b，由于，解得b=3

⇒（3分）

球心到平面ABC的距离为1⇒三棱锥的高h=2-1=1或h=2+1=3；（4分）

综上（5分）

解析

解：△ABC所在小圆半径的高为，

三角形的边长为b，由于，解得b=3

⇒（3分）

球心到平面ABC的距离为1⇒三棱锥的高h=2-1=1或h=2+1=3；（4分）

综上（5分）

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题型：填空题

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填空题

一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为9：25，则此棱锥的侧棱被分成上下两部分之比为______．

正确答案

3：2

解析

解：∵在棱锥中，平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面相似，

相似比等于截得的小棱锥与原棱锥对应棱长之比．

又∵截面面积与底面面积之比为9：25，∴相似比为3：5

即截得的小棱锥与原棱锥对应棱长之比为3：5

∴棱锥的侧棱被分成上下两部分之比为3：2

故答案为3：2

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题型：单选题

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单选题

从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为2、3、6，则它的体积为（　　）

A6

B36

C

D2

正确答案

A

解析

解：设长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，

∵从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为2、3、6，

∴a•b=2，a•c=3，b•c=6

∴（a•b•c）2=36

∴a•b•c=6

即长方体的体积为6

故选A

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题型：简答题

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简答题

（2015秋•濮阳月考）已知△ABC，，∠ACB=90°，过点A，B作线段AN，BM分别与△ABC所在的平面垂直，且AN=AB=2BM，E，F，P分别是线段NC，AB，MC的中点．

（Ⅰ）求证：EF∥平面MBC；

（Ⅱ）求异面直线AB与ME所成角的余弦值；

（Ⅲ）求四面体PBMF的体积．

正确答案

（Ⅰ）证明：取线段MN的中点Q，连接QE，QF，则QE∥MC，QF∥MB，

所以平面QEF∥平面MBC．

又因为EF⊂平面QEF，所以EF∥平面MBC．---------（4分）

（Ⅱ）解：取AC的中点D，连接ED，DB．

因为ED平行且等于，MB平行且等于，

所以ED平行且等于MB，从而四边形EDMB是平行四边形，

于是∠ABD就是异面直线AB，ME所成的角；

又因为，

所以cos．------------（8分）

（Ⅲ）解：因为，点P到平面FMB的距离是点C到平面FMB的距离的一半，又C到平面FMB的距离就是FC，所以．-----------（12分）

解析

（Ⅰ）证明：取线段MN的中点Q，连接QE，QF，则QE∥MC，QF∥MB，

所以平面QEF∥平面MBC．

又因为EF⊂平面QEF，所以EF∥平面MBC．---------（4分）

（Ⅱ）解：取AC的中点D，连接ED，DB．

因为ED平行且等于，MB平行且等于，

所以ED平行且等于MB，从而四边形EDMB是平行四边形，

于是∠ABD就是异面直线AB，ME所成的角；

又因为，

所以cos．------------（8分）

（Ⅲ）解：因为，点P到平面FMB的距离是点C到平面FMB的距离的一半，又C到平面FMB的距离就是FC，所以．-----------（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且平面PAC垂直于底面ABCD，△PAC中，PA=PC，PA⊥PC

（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC

（Ⅱ）若BD=PA=2，求四棱锥P-ABCD的体积．

正确答案

（I）证明：∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，

∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD=AC，

∴BD⊥平面PAC，BD⊂平面PBD，

∴平面PBD⊥平面PAC．

（2）解：S△PAC==2．

∴VP-ABCD=VB-PAC+VD-PAC==．

解析

（I）证明：∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，

∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD=AC，

∴BD⊥平面PAC，BD⊂平面PBD，

∴平面PBD⊥平面PAC．

（2）解：S△PAC==2．

∴VP-ABCD=VB-PAC+VD-PAC==．

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