双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：单选题

单选题

直线y=kx交双曲线于A，B两点，P为双曲线C上异于A，B的任意一点，则直线PA，PB的斜率之积为（　　）

正确答案

解析

解：设P（x，y），A（m，km），则B（-m，-km），代入双曲线方程可得，

∴，

∵双曲线，

∴，

∴直线PA、PB的斜率之积为===．

故选B．

题型：单选题

单选题

已知双曲线C的方程是：=1（m≠0），若双曲线的离心率e＞，则实数m的取值范围是（　　）

A1＜m＜2．

Bm＜0

Cm＜0或m＞1

Dm＜0或1＜m＜2．

正确答案

解析

解．由，或，

所以m＜0或1＜m＜2．

故选：D．

题型：简答题

简答题

已知双曲线两焦点F1，F2，其中F1为的焦点，两点A （-3，2）B （1，2）都在双曲线上，

（1）求点F1的坐标；

（2）求点F2的轨迹方程；

（3）若直线y=x+t与F2的轨迹方程有且只有一个公共点，求实数t的值．

正确答案

解：（1）由，得（x+1）2=-4（y-1），

∵x2=-4y的焦点坐标为（0，-1），

∴（x+1）2=-4（y-1）的焦点坐标为（-1，0），

∴点F1的坐标为（-1，0）；

（2）设F2（x，y），则||AF1|-|AF2||=||BF1|-|BF2||，

即=，

整理得：x2+2x+2y2-8y+1=0（x≠-1）；

（3）联立，得：3x2+（4t-6）x+2t2-8t+1=0．

△=（4t-6）2-12（2t2-8t+1）=-8t2+48t+24=0，解得：t=3．

∴直线y=x+t与F2的轨迹方程有且只有一个公共点的实数t的取值是．

解析

解：（1）由，得（x+1）2=-4（y-1），

∵x2=-4y的焦点坐标为（0，-1），

∴（x+1）2=-4（y-1）的焦点坐标为（-1，0），

∴点F1的坐标为（-1，0）；

（2）设F2（x，y），则||AF1|-|AF2||=||BF1|-|BF2||，

即=，

整理得：x2+2x+2y2-8y+1=0（x≠-1）；

（3）联立，得：3x2+（4t-6）x+2t2-8t+1=0．

△=（4t-6）2-12（2t2-8t+1）=-8t2+48t+24=0，解得：t=3．

∴直线y=x+t与F2的轨迹方程有且只有一个公共点的实数t的取值是．

题型：单选题

单选题

设F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，点P在双曲线上，若•=0 且||||=2ac（c=），则双曲线的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：由题意得，△PF1F2是直角三角形，

由勾股定理得（2c）2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1-PF2|2-2||||=4a2-4ac，∴c2-ac-a2=0，e2-e-1=0 且e＞1，

解方程得e=，

故选 A．

题型：填空题

填空题

已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，△OAF的面积为（O为原点），则此双曲线的离心率是______．

正确答案

解析

解：设过F（c，0）与一条渐近线bx-ay=0垂直的直线为l，则l的方程为：y=-（x-c），

由得：x=，y=，即A（，），

∵△OAF的面积为，

∴|OF|×yA=c×=，

∴b=a，

∴==4，

∴e==2．

故答案为：2．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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