双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：单选题

单选题

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0），若以C的焦点F为圆心a为半径的圆，截双曲线的渐近线所得弦长为b，则此双曲线的离心率是（　　）

正确答案

解析

解：双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，

∴F到双曲线的渐近线的距离d==b，

∵以C的焦点F为圆心a为半径的圆，截双曲线的渐近线所得弦长为b，

∴，

∴e=．

故选：A．

题型：单选题

单选题

已知F2、F1是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：由题意，F1（0，-c），F2（0，c），

一条渐近线方程为y=x，则F2到渐近线的距离为=b．

设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，

∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，

又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，

∴△MF1F2为直角三角形，

∴由勾股定理得4c2=c2+4b2

∴3c2=4（c2-a2），∴c2=4a2，

∴c=2a，∴e=2．

故选C．

题型：简答题

简答题

已知双曲线E1：-=1（a＞0，b＞0）与抛物线E2：y2=2px的焦点都在直线l0：2x-y-4=0上，双曲线E1的渐近线方程为xy=0．

（1）求双曲线E1与抛物线E2的方程；

（2）若直线l1经过抛物线E2的焦点F交抛物线E1于A，B两点，=3，求直线l1的方程．

正确答案

解：（1）令y=0，可得x=2，∴焦点为（2，0），

∴=2，c=2，

∴抛物线E2的方程为y2=8x，

∵双曲线E1的渐近线方程为xy=0，

∴=，

∵a2+b2=4，

∴a=，b=1，

∴求双曲线E1的方程是-y2=1；

（2）设AB所在直线方程为y=k（x-2），

联立抛物线方程，得k2x2-（4k2+8）x+4k2=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

解方程得：x1=，x2=．

再由=3，得x1+1=3（x2+1），即x1=3x2+2，

∴=3•+2，

解得：k=±．

∴直线L的方程为y=（x-2）或y=-（x-2）．

解析

解：（1）令y=0，可得x=2，∴焦点为（2，0），

∴=2，c=2，

∴抛物线E2的方程为y2=8x，

∵双曲线E1的渐近线方程为xy=0，

∴=，

∵a2+b2=4，

∴a=，b=1，

∴求双曲线E1的方程是-y2=1；

（2）设AB所在直线方程为y=k（x-2），

联立抛物线方程，得k2x2-（4k2+8）x+4k2=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

解方程得：x1=，x2=．

再由=3，得x1+1=3（x2+1），即x1=3x2+2，

∴=3•+2，

解得：k=±．

∴直线L的方程为y=（x-2）或y=-（x-2）．

题型：单选题

单选题

已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为（　　）

C1+

D1+

正确答案

解析

解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F

∴两条曲线交点为（，p），

代入双曲线方程得，

又=c

代入化简得 c4-6a2c2+a4=0

∴e4-6e2+1=0

∴e2=3+2=（1+）2

∴e=+1

故选：C．

题型：简答题

简答题

已知双曲线的两个焦点为，，P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=2，求该双曲线的方程．

正确答案

解：依题意知，双曲线的焦点在x轴，|F1F2|=2c=2，

由双曲线的定义得：||PF1|-|PF2||=2a，

∴-2|PF1|•|PF2|+=4a2，①

∵PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=2，

∴+==20，代入①式

∴a2=4，又c=，

∴b2=c2-a2=1，

∴该双曲线的方程为：-y2=1．

解析

解：依题意知，双曲线的焦点在x轴，|F1F2|=2c=2，

由双曲线的定义得：||PF1|-|PF2||=2a，

∴-2|PF1|•|PF2|+=4a2，①

∵PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=2，

∴+==20，代入①式

∴a2=4，又c=，

∴b2=c2-a2=1，

∴该双曲线的方程为：-y2=1．

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