双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：单选题

单选题

设双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，过F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足是P，直线l与双曲线C的一个交点Q，若=，则双曲线C的离心率是（　　）

正确答案

解析

解：双曲线C的一条渐近线方程为bx-ay=0，过F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，方程为y=-（x-c），

联立可得P（，），

∵=，

∴Q（2c-，-），

代入-=1，可得，

化简可得4c2=5a2，

∴e==．

故选：B．

题型：填空题

填空题

已知点P在双曲线=1（a＞0，b＞0）上，F1，F2是这条双曲线上的两个焦点，=0，且△F1PF2的三条边的长度成等差数列，则此双曲线的离心率的值为______．

正确答案

解析

解：设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，且分别设为m-d，m，m+d，

则由双曲线定义和勾股定理可知：m-（m-d）=2a，m+d=2c，（m-d）2+m2=（m+d）2，

解得m=4d=8a，c=d，故离心率e==5，

故答案为：5．

题型：填空题

填空题

若方程表示双曲线，则k的取值范围是______．

正确答案

（-∞，-2）∪（5，+∞）

解析

解：若方程表示的曲线为双曲线，

则（k+2）（5-k）＜0，即（k+2）（k-5）＞0，

解得k＜-2，或k＞5，即k∈（-∞，-2）∪（5，+∞），

故答案为：（-∞，-2）∪（5，+∞）

题型：简答题

简答题

如图，双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆O与双曲线交于A、B、C、D四点，若AB交y轴于点H，圆O与y轴正半轴相交于点P，且=（3+2）．

（1）若双曲线的焦距为2，求双曲线的方程；

（2）求双曲线的离心率．

正确答案

解：（1）由|F1F2|=2得圆O的半径为1，故P（0，1），设H（0，m）．

∵=（3+2）=（3+2）（0，1-m），

∴m=（3+2）（1-m），解得m=，

故A（x，），由|OA|=1得x=，

∴A（，）．

∵点A（，）在双曲线上，

∴-=1，

又∵焦距为2，

∴a2+b2=1，解得a2=1-，b2=，

故双曲线的方程为-=1．

（2）设焦距为2c，则P（0，c），设H（0，n）．

∵=（3+2）=（3+2）（0，c-n），

∴n=（3+2）（c-n），解得n=c，

即H（0，c）．

由A（x0，c）在圆上得x0=c，

∴A（c，c），

∴将A（c，c）代入双曲线方程得-=1，

又∵a2+b2=c2，化简得3a4+6a2b2-b4=0，

即（）4-6（）2-3=0，

∴（）2=3+2，

∴e2==1+=4+2，

故双曲线的离心率为e=+1．

解析

解：（1）由|F1F2|=2得圆O的半径为1，故P（0，1），设H（0，m）．

∵=（3+2）=（3+2）（0，1-m），

∴m=（3+2）（1-m），解得m=，

故A（x，），由|OA|=1得x=，

∴A（，）．

∵点A（，）在双曲线上，

∴-=1，

又∵焦距为2，

∴a2+b2=1，解得a2=1-，b2=，

故双曲线的方程为-=1．

（2）设焦距为2c，则P（0，c），设H（0，n）．

∵=（3+2）=（3+2）（0，c-n），

∴n=（3+2）（c-n），解得n=c，

即H（0，c）．

由A（x0，c）在圆上得x0=c，

∴A（c，c），

∴将A（c，c）代入双曲线方程得-=1，

又∵a2+b2=c2，化简得3a4+6a2b2-b4=0，

即（）4-6（）2-3=0，

∴（）2=3+2，

∴e2==1+=4+2，

故双曲线的离心率为e=+1．

题型：单选题

单选题

设双曲线-=1（a＞0，b＞0）的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列

∴（2b）2=（2a）•（2c）

∴b2=ac

又∵b2=c2-a2

∴c2-a2=ac

∴e2-e-1=0

∴e=

又在双曲线中e＞1

∴e=

故选B

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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