双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：单选题

单选题

（2015秋•洛阳期末）设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限的交点为P，若双曲线的离心率为5，则cos∠PF1F2=（　　）

正确答案

解析

解：设|PF1|=m，|PF2|=n，

则由双曲线的定义知m-n=2a，①

∵△PF1F2为直角三角形，

∴m2+n2=4c2，②

∵双曲线的离心率为5，

∴，即c=5a，

把①和②联立方程组，

解得mn=2b2=2（c2-a2）=48a2，

解方程组，得m=8a，n=6a，

∴cos∠PF1F2====．

故选C．

题型：填空题

填空题

已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，定点A（1，3），点P在双曲线的右支上运动，则|PF1|+|PA|的最小值等于______．

正确答案

解析

解：∵P在双曲线-=1的右支上，

∴|PF1|-|PF2|=6，

∴|PF1|=|PF2|+6，又A（1，3），双曲线右焦点F2（5，0），

∴|PF1|+|PA|

=|PF2|+6+|PA|

≥|AF2|+6

=+6

=5+6

=11（当且仅当A、P、F2三点共线时取“=”）．

故答案为：11．

题型：简答题

简答题

已知曲线的标准方程为=1

（1）若曲线表示双曲线，试求k的取值范围；

（2）在（1）的条件下，求其焦点坐标；

（3）在（1）的条件下，若曲线经过点，求曲线的方程．

正确答案

解：（1）由题意，（25-k）（9-k）＜0，∴9＜k＜25；

（2）由（1）知，a2=25-k，b2=k-9，∴c2=16，∴c=4，∴焦点坐标为（±4，0）；

（3）由题意，，

∵9＜k＜25，

∴k=13，

∴曲线的方程为．

解析

解：（1）由题意，（25-k）（9-k）＜0，∴9＜k＜25；

（2）由（1）知，a2=25-k，b2=k-9，∴c2=16，∴c=4，∴焦点坐标为（±4，0）；

（3）由题意，，

∵9＜k＜25，

∴k=13，

∴曲线的方程为．

题型：简答题

简答题

已知直线y=x+m经过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F，交y轴于点P，c为双曲线的半焦距，O为坐标原点，若|OP|，2a，|OF|成等比数列，求此双曲线的离心率和渐近线方程．

正确答案

解：由y=x+m，令x=0，可得y=m，

∵直线y=x+m经过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F，

∴0=-+m，

∴m=，

∴|OP|=，

∵|OP|，2a，|OF|成等比数列，

∴4a2=，

∴c2=8a2，

∴e==2，b2=7a2，

∴=，渐近线方程为y=±x．

解析

解：由y=x+m，令x=0，可得y=m，

∵直线y=x+m经过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F，

∴0=-+m，

∴m=，

∴|OP|=，

∵|OP|，2a，|OF|成等比数列，

∴4a2=，

∴c2=8a2，

∴e==2，b2=7a2，

∴=，渐近线方程为y=±x．

题型：单选题

单选题

若双曲线=1（a＞0，b＞0）的左．右焦点分别为F1．F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5：3两段，则此双曲线的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：∵抛物线y2=2bx的焦点F（，0），

线段F1F2被抛物线y2=2bx 的焦点分成5：3的两段，

∴（+c）：（c-）=5：3，∴c=2b，

∴c2=a2+b2=a2+c2，

∴=．

∴此双曲线的离心率e=．

故选D．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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