双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：单选题

单选题

（2015秋•大连校级期中）已知F1，F2是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两焦点，以点F1为直角顶点作等腰直角三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（　　）

正确答案

解析

解：x=-c时，代入双曲线方程，可得y=±．

∵以点F1为直角顶点作等腰直角三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，

∴=c，

∴e2-e-1=0，

∵e＞1，

∴e=，

故选：A．

题型：单选题

单选题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上一点，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，且|PF2|=|F1F2|，则该双曲线的离心率e是（　　）

正确答案

解析

解：设直线PF1与圆x2+y2=a2相切于点M，

则|OM|=a，OM⊥PF1，

取PF1的中点N，连接NF2，

由于|PF2|=|F1F2|=2c，则NF2⊥PF1，|NP|=|NF1|，

由|NF2|=2|OM|=2a，

则|NP|==2b，

即有|PF1|=4b，

由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a，

即4b-2c=2a，即2b=c+a，

4b2=（c+a）2，即4（c2-a2）=（c+a）2，

4（c-a）=c+a，即3c=5a，

则e==．

故选A．

题型：填空题

填空题

已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则当△PF1F2的面积等于a2时，双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：设F1F2=2c，由题意知△F1F2P是直角三角形，

∴F1P2+F2P2=F1F22，

又根据曲线的定义得：

F1P-F2P=2a，

平方得：F1P2+F2P2-2F1P×F2P=4a2，

从而得出F1F22-2F1P×F2P=4a2，

∴F1P×F2P=2（c2-a2），

又△PF1F2的面积等于a2，

即 F1P×F2P=a2，

c2-a2=a2，

e=，

∴双曲线的离心率．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

（2015秋•株洲校级期中）已知双曲线过点（3，-2）且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若点M在双曲线上，F1、F2为左、右焦点．且|MF1|+|MF2|=6，试判断△MF1F2的形状．

正确答案

解：（1）椭圆4x2+9y2=36可化为，焦点坐标为（±，0），

设双曲线的方程为，

代入点（3，-2），可得=1，∴a2=3，

∴双曲线的标准方程为；

（2）不妨设M在双曲线的右支上，则|MF1|-|MF2|=2，

∵|MF1|+|MF2|=6，

∴|MF1|=4，|MF2|=2，

∵|F1F2|=2，

∴由余弦定理可得cos∠MF2F1=＜0，

∴△MF1F2是钝角三角形．

解析

解：（1）椭圆4x2+9y2=36可化为，焦点坐标为（±，0），

设双曲线的方程为，

代入点（3，-2），可得=1，∴a2=3，

∴双曲线的标准方程为；

（2）不妨设M在双曲线的右支上，则|MF1|-|MF2|=2，

∵|MF1|+|MF2|=6，

∴|MF1|=4，|MF2|=2，

∵|F1F2|=2，

∴由余弦定理可得cos∠MF2F1=＜0，

∴△MF1F2是钝角三角形．

题型：填空题

填空题

若抛物线y2=2px的焦点与双曲线-y2=1的左焦点重合，则实数p=______．

正确答案

-4

解析

解：抛物线的焦点F为（，0），

双曲线-y2=1的左焦点F2（-2，0），

由已知得=-2，

∴p=-4．

故答案为：-4．

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