双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：简答题

简答题

设点P是双曲线-=1（a＞0，b＞0）上任意一点，过点P的直线与两渐近线分别交于P1，P2，设λ=，求证：=ab．

正确答案

证明：设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），

则y1=x1，y2=-x2，∵λ=，

∴x=，y===•，

由点P（x，y）在双曲线-=1（a＞0，b＞0）上，

∴-=1，

化简得：x1x2=，

又|OP1|==|x1|，同理可得|OP2|=|x2|，

∴|OP1|•|OP2|=|x1|•|x1|=•=．

设直线OP1与OP2所成的夹角为2θ，∵tanθ=，

∴tan2θ===，

∴sin2θ==，

∴=•|OP1|•|OP2|sin2θ=•=ab．

解析

证明：设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），

则y1=x1，y2=-x2，∵λ=，

∴x=，y===•，

由点P（x，y）在双曲线-=1（a＞0，b＞0）上，

∴-=1，

化简得：x1x2=，

又|OP1|==|x1|，同理可得|OP2|=|x2|，

∴|OP1|•|OP2|=|x1|•|x1|=•=．

设直线OP1与OP2所成的夹角为2θ，∵tanθ=，

∴tan2θ===，

∴sin2θ==，

∴=•|OP1|•|OP2|sin2θ=•=ab．

题型：简答题

简答题

已知双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，求该双曲线的焦点到其渐近线的距离．

正确答案

解：∵抛物线y2=12x的p=6，开口方向向右，∴焦点是（3，0），

∵双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，

∴4+b2=9，∴b2=5

∴双曲线的渐近线方程为y=，即

∴双曲线的焦点到其渐近线的距离为=．

解析

解：∵抛物线y2=12x的p=6，开口方向向右，∴焦点是（3，0），

∵双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，

∴4+b2=9，∴b2=5

∴双曲线的渐近线方程为y=，即

∴双曲线的焦点到其渐近线的距离为=．

题型：填空题

填空题

双曲线（a＞0）的离心率为，则a的值是______．

正确答案

解析

解：∵双曲线（a＞0）的离心率为，

∴，

∴a=1

故答案为：1

题型：单选题

单选题

双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线X+2y+1=0垂直，则双曲线C的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为

y=x，

由于一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，

则有=2，即有b=2a，

c==a，

则离心率为e==．

故选C．

题型：单选题

单选题

已知直线l的斜率为2，M、N是直线l与双曲线C：的两个交点，设M、N的中点为P（2，1），则C的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），

则=1，①=1，②，

∵点P（2，1）是AB的中点，

∴x1+x2=4，y1+y2=2，

∵直线l的斜率为2，∴，

∴①-②得a2=b2，

∴c2=2a2，

∴e=．

故选：A．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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