- 双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
- 共2157题
过双曲线G：
正确答案
解析
解：由题得，双曲线的右顶点A（a，0）
所以所作斜率为1的直线l：y=x-a，
若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B（x1，y1），C（x2，y2）．
联立其中一条渐近线y=-
解得x2=
同理联立 
解得x1=
又因为|AB|=2|AC|，
（i）当C是AB的中点时，则x2=
把①②代入整理得：b=3a，
∴e=
（ii）当A为BC的中点时，则根据三角形相似可以得到
∴x1+2x2=3a，
把①②代入整理得：a=3b，
∴e=
综上所述，双曲线G的离心率为
故答案为：
（I）求双曲线的方程；
（II）设A（m，0）和
正确答案
（I）解：根据题设条件，F1（-c，0），F2（c，0）．
设点M（x，y），则x、y满足
因
故
利用a2+b2=c2，得
因此，所求双曲线方程为x2-4y2=1．
（II）解：设点C（x1，y1），D（x2，y2），E（x3，y3），则直线l的方程为
于是C（x1，y1）、D（x2，y2）两点坐标满足
将①代入②得（x12-2x1m+m2-4y12）x2+8my12x-4y12m2-x12+2mx1-m2=0．
由已知，显然m2-2x1m+1≠0．于是
因为x1≠0，得
同理，C（x1，y1）、E（x3，y3）两点坐标满足
可解得
所以x2=x3，故直线DE垂直于x轴．
解析
（I）解：根据题设条件，F1（-c，0），F2（c，0）．
设点M（x，y），则x、y满足
因
故
利用a2+b2=c2，得
因此，所求双曲线方程为x2-4y2=1．
（II）解：设点C（x1，y1），D（x2，y2），E（x3，y3），则直线l的方程为
于是C（x1，y1）、D（x2，y2）两点坐标满足
将①代入②得（x12-2x1m+m2-4y12）x2+8my12x-4y12m2-x12+2mx1-m2=0．
由已知，显然m2-2x1m+1≠0．于是
因为x1≠0，得
同理，C（x1，y1）、E（x3，y3）两点坐标满足
可解得
所以x2=x3，故直线DE垂直于x轴．
设F1，F2分别为双曲线
正确答案
解析
解：∵以线段F1F2为直径的圆交双曲线左支于A，B两点，且∠AF1B=120°，
∴△OF1A是等边三角形
∴|AF1|=c，
∴
∴
∵双曲线的离心率介于整数k与k+1之间
∴k=2
故选B．
曲线C与双曲线x2-y2=a2关于点（3，4）对称，求曲线C的方程．
正确答案
解：设曲线C上任意点为P（x，y），则P点关于点（3，4）的对称点在双曲线x2-y2=a2上；
设点P关于点（3，4）的对称点为（x0，y0），则：
∴
（6-x）2-（8-y）2=a2；
该方程即为曲线C的方程．
解析
解：设曲线C上任意点为P（x，y），则P点关于点（3，4）的对称点在双曲线x2-y2=a2上；
设点P关于点（3，4）的对称点为（x0，y0），则：
∴
（6-x）2-（8-y）2=a2；
该方程即为曲线C的方程．
若双曲线
Ae＞1
Be＞
Ce＞
De＞
正确答案
解析
解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x-2）2+y2=1相离，
∴圆心到渐近线的距离大于半径，即
∴3b2＞a2，
∴c2=a2+b2＞
∴e=
故选：C．
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