- 双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
- 共2157题
与椭圆
A
B
C
D
正确答案
解析
解：椭圆
则双曲线的c=5，可设双曲线的方程为
则a2+b2=25，
离心率e=
即有双曲线的方程为
故选：D．
（2015•上虞市二模）双曲线x2-y2=2的实轴长为______，离心率为______，渐近线方程为______．
正确答案
2
y=±x
解析
解：双曲线x2-y2=2中a=b=
∴实轴长为2a=2
故答案为：2
过双曲线
A
B
C
D
正确答案
解析
解：双曲线
直线AB：y=x+a，
由直线y=x+a与双曲线的渐近线方程y=
可得交点C（
由直线y=x+a与双曲线的渐近线方程y=-
可得交点B（-
由
（
即有
即2b-2a=-a-b，
即a=3b，
则c=
则e=
故选：D．
双曲线
正确答案
解析
∴F1（-c，0），B1（0，b），可得直线F1B1的方程为y=
∵双曲线的两顶点为A1、A2，以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，
∴点O到直线F1B1的距离等于半径，即
∵b2=c2-a2，∴上式化简为（c2-a2）c2=a2（2c2-a2），整理得c4-3a2c2+a4=0．
两边都除以a4，得e4-3e2+1=0，解之得e2=
∵双曲线的离心率e＞1，
∴e2=
故答案为：
双曲线C的中心在原点，右焦点为F（
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若过点（0，1）的直线L与双曲线的右支交与两点，求直线L的斜率的范围；
（Ⅲ）设直线L：y=kx+1与双曲线C交与A、B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点．
正确答案
解：（I）设双曲线的方程为
∵c2=a2+b2，
∴a2=
∴双曲线C的方程为：
（II）设直线L的方程为y=kx+1，联立直线和曲线方程得
设两交点为（x1，y1），（x2，y2），由直线和曲线右支交于两点得：
解得：-
（III）由
由△＞0，且3-k2≠0，得-
设A（x1，y1）、B（x2，y2），因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，所以 x1x2+y1y2=0，又x1+x2=
∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1，
∴k2x1x2+k（x1+x2）+1+x1x2=0，即
∴
解析
解：（I）设双曲线的方程为
∵c2=a2+b2，
∴a2=
∴双曲线C的方程为：
（II）设直线L的方程为y=kx+1，联立直线和曲线方程得
设两交点为（x1，y1），（x2，y2），由直线和曲线右支交于两点得：
解得：-
（III）由
由△＞0，且3-k2≠0，得-
设A（x1，y1）、B（x2，y2），因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，所以 x1x2+y1y2=0，又x1+x2=
∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1，
∴k2x1x2+k（x1+x2）+1+x1x2=0，即
∴
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