双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：单选题

单选题

如图，已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q．若∠PAQ=60°且=4，则双曲线C的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：因为∠PAQ=60°且=4，

所以△QAP为等边三角形，

设AQ=2R，则PQ=2R，OP=R，

渐近线方程为y=x，A（a，0），

取PQ的中点M，则AM=，

由勾股定理可得（2R）2-R2=（）2，

所以（ab）2=3R2（a2+b2）①，

在△OQA中，=，

所以R2=a2②

①②结合c2=a2+b2，

可得e==．

故选：B．

题型：填空题

填空题

已知焦点为（0，3）的双曲线方程是8kx2-ky2=8，则k=______．

正确答案

-1

解析

解：双曲线8kx2-ky2=8

化为-=1，

∵双曲线的一个焦点为（0，3），

∴--=32，

解得k=-1．

故答案为：-1．

题型：简答题

简答题

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，且过点．

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）斜率为k且过点P（1，2）的直线l与双曲线C有两个公共点，求k的取值范围；

（3）在（2）的条件下，试判断以Q（1，1）为中点的弦是否存在？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，说明理由．

正确答案

解：（1）∵双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，且过点，

∴=，，

∴a=1，b=，

∴双曲线C的标准方程为----------------------------（3分）

（2）设直线l的方程为y-2=k（x-1），即y=kx+2-k，

由得（k2-2）x2-2（k2-2k）x+k2-4k+6=0．----------------（5分）

∵直线l与C有两个公共点，

∴得

解之得：k＜且．

∴k的取值范围是．-----------------------------（8分）

（3）设以Q（1，1）为中点的弦存在，该直线与双曲线交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点

，作差得kMN=2--------------------------------------------------（11分）

由（2）可知，k=2时，直线l与C没有两个公共点，

∴设以Q（1，1）为中点的弦不存在．----------------------------（12分）

解析

解：（1）∵双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，且过点，

∴=，，

∴a=1，b=，

∴双曲线C的标准方程为----------------------------（3分）

（2）设直线l的方程为y-2=k（x-1），即y=kx+2-k，

由得（k2-2）x2-2（k2-2k）x+k2-4k+6=0．----------------（5分）

∵直线l与C有两个公共点，

∴得

解之得：k＜且．

∴k的取值范围是．-----------------------------（8分）

（3）设以Q（1，1）为中点的弦存在，该直线与双曲线交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点

，作差得kMN=2--------------------------------------------------（11分）

由（2）可知，k=2时，直线l与C没有两个公共点，

∴设以Q（1，1）为中点的弦不存在．----------------------------（12分）

题型：填空题

填空题

已知两个点M（-5，0）和N（5，0），若直线上存在点P，使|PM|-|PN|=6，则称该直线为“B型直线”，给出下列直线：①y=x+1；②；③y=2；④y=2x+1．其中为“B型直线”的是______．（填上所有正确结论的序号）

正确答案

①③

解析

解：∵|PM|-|PN|=6∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即（x＞0），

①，把y=x+1代入双曲线（x＞0）并整理，得7x2-18x-153=0，∵△=（-18）2-4×7×（-153）＞0∴y=x+1是“B型直线”．

②，把y=x代入双曲线（x＞0）并整理，得144=0，不成立．∴y=x不是“B型直线”．

③，把y=2代入双曲线（x＞0）并整理，得，∴y=2是“B型直线”．

④，把y=2x+1代入双曲线（x＞0）并整理，得20x2+36x+153=0，∵△=362-4×20×153＜0∴y=2x+1不是“B型直线”．

答案：①③．

题型：填空题

填空题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为______．

正确答案

解析

解：∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左顶点（-a，0）与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的距离为4，∴；

又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），∴渐近线的方程应是，而抛物线的准线方程为，因此，，

联立得，解得，

∴=2．

故双曲线的焦距为．

故答案为．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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