双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：填空题

填空题

双曲线x2-3y2=3的两条渐近线所成的锐角为______．

正确答案

60°

解析

解：双曲线x2-3y2=3即为-y2=1，

即有渐近线方程为y=±x，

由两直线的夹角公式可得tanθ=||=，

则所成的锐角为60°．

故答案为：60°．

题型：单选题

单选题

（2015•商丘一模）已知抛物线y2=4x与双曲线-=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A，B是两曲线的交点，若（+）•=0，则双曲线的离心率为（　　）

A+2

B+1

C+1

D+1

正确答案

解析

解：由抛物线y2=4x的焦点F（1，0），

可得双曲线的焦点为F（1，0）和F‘（-1，0），

设A（m，n），B（m，-n）（m＞0，n＞0），

则=（1-m，-n），

由（+）•=0，

即为2m（1-m）+0=0，

解得m=1（0舍去），

即有A（1，2），

由双曲线的定义可得|AF'|-|AF|=2a，

即为2-2=2a，

即a=-1，

由e===．

故选D．

题型：单选题

单选题

如果双曲线的两个焦点分别为F1（-3，0）、F2（3，0），一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是（　　）

正确答案

解析

解：如果双曲线的两个焦点分别为F1（-3，0）、F2（3，0），一条渐近线方程为，

∴，

解得，

所以它的两条准线间的距离是，

故选C．

题型：填空题

填空题

双曲线-y2=1的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的点，当△F1PF2的面积为2时，丨-丨的值为______．

正确答案

解析

解：∵双曲线的方程为 -y2=1，

∴两焦点F1、F2的坐标分别为（-2，0），（ 2，0），

∴|F1F2|=4，

∵△F1PF2面积为2，设点P的坐标为（m，n），

则 |F1F2||n|=2，

∴|n|=1，不妨取n=1，

将点P（m，1）的坐标代入双曲线的方程，得：m=±，不妨取m=，

则P（，1），

∴=（-2-，-1），=（2-，-1），

∴丨-丨=|（-4，0）|=4，

故答案为：4．

题型：简答题

简答题

已知双曲线-=1（b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，其中一条渐近线方程为y=x，点P（x0，y0）在双曲线，求•的范围．

正确答案

解：双曲线-=1（b＞0）的渐近线方程为：y=x，

由于其中一条渐近线方程为y=x，则b=，

即有双曲线方程为：x2-y2=2．

即有左、右焦点分别是F1（-2，0），F2（2，0），

则•=（-2-x0，-y0）•（2-x0，-y0）=x02+y02-4

又点P（x0，y0）在双曲线上，即有x02-y02=2，

即y02=x02-2，

即有•=2x02-6，

由双曲线的性质，可得x02≥2，

则有•≥4-6=-2．

故所求范围是[-2，+∞）．

解析

解：双曲线-=1（b＞0）的渐近线方程为：y=x，

由于其中一条渐近线方程为y=x，则b=，

即有双曲线方程为：x2-y2=2．

即有左、右焦点分别是F1（-2，0），F2（2，0），

则•=（-2-x0，-y0）•（2-x0，-y0）=x02+y02-4

又点P（x0，y0）在双曲线上，即有x02-y02=2，

即y02=x02-2，

即有•=2x02-6，

由双曲线的性质，可得x02≥2，

则有•≥4-6=-2．

故所求范围是[-2，+∞）．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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