双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：简答题

简答题

直线y=x+b与双曲线2x2-y2=1相交于A，B两点，若以AB为直径的圆过原点，求实数b的值．

正确答案

解：联立，消去y得，x2-2bx-1-b2=0．

∵直线y=x+b与双曲线2x2-y=1相交于A，B两点，

由△=（-2b）2+4（1+b2）=4+8b2＞0，

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

则x1+x2=2b，x1x2=-1-b2．

所以y1y2=（x1+b）（x2+b）=x1x2+b（x1+x2）+b2

=-1-b2+3b2=2b2-1，

因为以AB为直径的圆经过坐标原点，

即为•=0，

所以x1x2+y1y2=0．

即-1-b2+2b2-1=0，

解得b=±．

所以b的值是±．

解析

解：联立，消去y得，x2-2bx-1-b2=0．

∵直线y=x+b与双曲线2x2-y=1相交于A，B两点，

由△=（-2b）2+4（1+b2）=4+8b2＞0，

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

则x1+x2=2b，x1x2=-1-b2．

所以y1y2=（x1+b）（x2+b）=x1x2+b（x1+x2）+b2

=-1-b2+3b2=2b2-1，

因为以AB为直径的圆经过坐标原点，

即为•=0，

所以x1x2+y1y2=0．

即-1-b2+2b2-1=0，

解得b=±．

所以b的值是±．

题型：填空题

填空题

设F1、F2分别为双曲线C：=1（a，b＞0）的左右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐近线于M、N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：设以F1F2为直径的圆与渐近线y=x相交与点M的坐标为（x0，y0）（x0＞0），

根据对称性得N点的坐标为（-x0，-y0），

∴；

解得M（a，b），N（-a，-b）；

又∵A（-a，0），且∠MAN=120°，

∴由余弦定理得4c2=（a+a）2+b2+b2-2•bcos 120°，

化简得7a2=3c2，

∴e==．

故答案为：．

题型：填空题

填空题

已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率e=2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2．若直线AB过原点，则k1•k2的值为______．

正确答案

解析

解：设M（x，y），A（x1，y1），B（-x1，-y1），则k1=，k2=

∴k1•k2==

∵

∴两式相减可得

∴

∵双曲线的离心率e=2，

∴

∴=3

∴k1•k2=3

故答案为3．

题型：填空题

填空题

双曲线C：的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则双曲线C的离心率为______．

正确答案

解析

解：根据双曲线的定义，可得|BF1|-|BF2|=2a，

∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|

∴|BF1|-|BF2|=2a，即|BF1|-|AB|=|AF1|=2a

又∵|AF2|-|AF1|=2a，

∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，

∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°

∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|•|AF2|cos120°

即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×（-）=28a2，解之得c=a，

由此可得双曲线C的离心率e==

故答案为：

题型：单选题

单选题

已知双曲线y2-=1的中心在原点O，双曲线两条渐近线与抛物线y2=mx交于A，B两点，且S△OAB=9，则双曲线的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：双曲线y2-=1的两条渐近线方程为y=±，

与抛物线y2=mx联立可得x=m2，∴A（m，m），B（m，-m），

∵S△OAB=9，

∴•2m•m=9，

∴m=3，

∴c2=1+m=4，

∴c=2

∴双曲线的离心率为2．

故选：B．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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