- 双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
- 共2157题
已知矩形ABCD，AB=4，BC=3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的双曲线的渐近线夹角为______．
正确答案
解析
解：由题意可得点OA=OB=2，AC=5
设双曲线的标准方程是 
则2a=AC-BC=5-3=2，
所以a=1．
所以b2=c2-a2=4-1=3．
所以双曲线的标准方程：
故双曲线的渐近线的方程为：y=
∴双曲线的渐近线夹角为
故答案为：
已知双曲线
正确答案
解：设在左支上存在P点，使|PF1|2=|PF2|•d，由双曲线的第二定义知
再由双曲线的第一定义，得|PF2|-|PF1|=2a．②
由①②，解得|PF1|=
∵|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，
∴
利用e=
解得1-
∵e＞1，
∴1＜e≤1+
∴在双曲线左支上找不到点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项．
解析
解：设在左支上存在P点，使|PF1|2=|PF2|•d，由双曲线的第二定义知
再由双曲线的第一定义，得|PF2|-|PF1|=2a．②
由①②，解得|PF1|=
∵|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，
∴
利用e=
解得1-
∵e＞1，
∴1＜e≤1+
∴在双曲线左支上找不到点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项．
设F1，F2分别是双曲线C：
①|OM|=|ON|=c；
②点N的坐标为（a，b）；
③∠MAN＞90°；
④若∠MAN=120°，则双曲线C的离心率为
⑤若∠MAN=120°，且△AMN的面积为2
正确答案
①③④⑤
解析
交双曲线的某条渐近线于MN两点，
则|OM|=|ON|=c正确；
对于②，令渐近线方程为y=
代入圆x2+y2=c2=a2+b2，解得，M（a，b），N（-a，-b），
则②错误；
对于③，由于A（-a，0），M（a，b），N（-a，-b），
对于④，M（a，b），N（-a，-b）；又∵A（-a，0），且∠MAN=120°，
∴由余弦定理得4c2=（a+a）2+b2+b2-2
化简得7a2=3c2，∴e=
对于⑤，由④得e=
再由a2+b2=c2，解得，a=
故答案为：①③④⑤．
已知双曲线Γ：
A
B
C
D
正确答案
解析
解：斜率为
△PF1F2是等腰三角形，即有|PF2|=|F1F2|=2c，
则有P（c+2ccos60°，2csin60°），即为P（2c，
代入双曲线方程
即有
由离心率公式e=
即有4e2-
化简可得4e4-8e2+1=0，解得
e2=1
由e＞1，解得e=
故选：D．
已知双曲线C：
A
B
C2
D
正确答案
解析
根据题意可得F1（-c，0）、F2（c，0），
双曲线的渐近线为：y=
直线PF2的方程为：y=
直线PF1的方程为：y=-
又点P（x，y）在双曲线上，∴
联立①③，可得x=
联立①②，可得x=
∴
∴a2+a2+b2=2b2-2a2，
∴b2=4a2，
∴e=
故选：D．
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