双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：填空题

填空题

已知F1、F2分别为双曲线-=1（a＞0）的左右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，交双曲线与A、B两点，若△F1AB是等边三角形，则此双曲线的渐近线方程是______．

正确答案

y=±x

解析

解：设A（c，yA）（yA＞0），代入双曲线方程得，解得．

∵△F1AB是等边三角形，∴，∴，化为，

又a2+2=c2，联立解得a2=1，∴此双曲线的渐近线方程是．

故答案为．

题型：简答题

简答题

已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上求一点P，使|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项？若能，求出P的坐标，若不能，说明理由．

正确答案

解：由题意得：a=5，b=12，c=13，F1（-13，0），F2（13，0），左准线为l：x=-，

设点P（x，y），|PF1|2=d•|PF2|，又=e==，∴|PF1|=•|PF2|，

又|PF2|-|PF1|=10，∴|PF1|=，|PF2|=，

∵双曲线左支上任意一点到F1（-13，0）的距离最小为-5-（-13）=8＞，

故双曲线左支上不存在点P，使|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项．

解析

解：由题意得：a=5，b=12，c=13，F1（-13，0），F2（13，0），左准线为l：x=-，

设点P（x，y），|PF1|2=d•|PF2|，又=e==，∴|PF1|=•|PF2|，

又|PF2|-|PF1|=10，∴|PF1|=，|PF2|=，

∵双曲线左支上任意一点到F1（-13，0）的距离最小为-5-（-13）=8＞，

故双曲线左支上不存在点P，使|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项．

题型：简答题

简答题

若双曲线过点P（3，4），其渐近线方程为2x+y=0，求双曲线的方程？

正确答案

解：∵渐近线方程为2x+y=0，

∴设双曲线方程为，

把P（3，4）代入，得，

∴双曲线的方程为：．

解析

解：∵渐近线方程为2x+y=0，

∴设双曲线方程为，

把P（3，4）代入，得，

∴双曲线的方程为：．

题型：填空题

填空题

已知双曲线过点（，2），且它的渐近线方程是y=±2x，则此双曲线的方程是______．

正确答案

-=1

解析

解：由于双曲线的渐近线方程是y=±2x，

可设双曲线的方程为y2-4x2=m（m≠0），

代入点（，2）可得，

m=4-4×3=-8，

则有双曲线方程为4x2-y2=8，

即为-=1．

故答案为：-=1．

题型：单选题

单选题

已知双曲线的中心在坐标原点，两个焦点为F1（-，0），F2（，0），点P是此双曲线上的一点，且•=0，||•||=4，该双曲线的标准方程是（　　）

正确答案

解析

解：设双曲线的方程为：-=1，

∵两焦点F1（-，0），F2（，0），且•=0，

∴⊥，

∴△F1PF2为直角三角形，∠P为直角；

∴+===28；①

又点P是此双曲线上的一点，

∴||PF1|-|PF2||=2a，

∴+-2|PF1|•|PF2|=4a2，由||•||=4得|PF1|•|PF2|=4，

∴+-8=4a2，②

由①②得：a2=5，又c2==7，

∴b2=c2-a2=2．

∴双曲线的方程为：-=1，

故选C．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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