双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：简答题

简答题

在面积为9的△ABC中，，且．

（1）建立适当的坐标系，求以AB，AC所在直线为渐近线且过点D的双曲线的方程；

（2）过点D分别作AB，AC所在直线的垂线DE，DF（E，F为垂足），求的值．

正确答案

（1）以点A为坐标原点，∠CAB的角平分线所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系（如图），设∠CAx=α．

∵，

∴tanα=2

所以，直线AC的方程为y=2x，直线AB的方程为y=-2x，

双曲线的方程可以设为4x2-y2=λ（λ≠0）．

设B（x1，-2x1），C（x2，2x2），由，

得，

所以．

即（*）

由，得又∵，

∴S△ABC=，

即，代入等式（*），得λ=16．

所以，双曲线的方程为．

（2）由题设可知，所以．

设点D（x0，y0），

则，

于是，点D到AB，AC所在的直线的距离是．

故

解析

（1）以点A为坐标原点，∠CAB的角平分线所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系（如图），设∠CAx=α．

∵，

∴tanα=2

所以，直线AC的方程为y=2x，直线AB的方程为y=-2x，

双曲线的方程可以设为4x2-y2=λ（λ≠0）．

设B（x1，-2x1），C（x2，2x2），由，

得，

所以．

即（*）

由，得又∵，

∴S△ABC=，

即，代入等式（*），得λ=16．

所以，双曲线的方程为．

（2）由题设可知，所以．

设点D（x0，y0），

则，

于是，点D到AB，AC所在的直线的距离是．

故

题型：单选题

单选题

已知双曲线的一条渐近线方程是y=2x，它的一个焦点在抛物线y2=20x的准线上，则双曲线的方程为（　　）

正确答案

解析

解：∵双曲线的一条渐近线方程是y=2x，∴，

∵双曲线的一个焦点在抛物线y2=20x的准线x=-5上，∴c=5．

联立解得．

∴此双曲线的方程为．

故选A．

题型：单选题

单选题

（2015秋•青岛校级期末）方程所表示的曲线是（　　）

A焦点在x轴上的椭圆

B焦点在y轴上的椭圆

C焦点在x轴上的双曲线

D焦点在y轴上的双曲线

正确答案

解析

解：∵-1≤sinθ≤1，

∴2sinθ+3＞0．sinθ-2＜0，

方程所表示的曲线是：

表示焦点在x轴上的双曲线，

故选 C．

题型：填空题

填空题

已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为4，则该双曲线的标准方程是______．

正确答案

或

解析

解：由题意，若双曲线的焦点在x轴上，则，

∴a=4，b=2，∴双曲线的标准方程是；

若双曲线的焦点在y轴上，则，

∴a=1，b=2，∴双曲线的标准方程是．

故答案为：或．

题型：简答题

简答题

已知命题P：“∀x∈R，x2+（m-1）x+1≥0”是真命题；命题Q：方程表示双曲线，若P∨Q为假命题，求实数m的取值范围．

正确答案

解：对于P：△=（m-1）2-4≤0，解之得-1≤m≤3，

对于Q：或，解之得m＜1或m＞5．

∵P∨Q为假命题，

∴命题P、Q均是假命题，可得“-1≤m≤3”与“m＜1或m＞5”均不成立，

因此有：“m＜-1或m＞3”成立…①，且“1≤m≤5”成立…②

联解①②，可得m的取值范围是3＜m≤5．

解析

解：对于P：△=（m-1）2-4≤0，解之得-1≤m≤3，

对于Q：或，解之得m＜1或m＞5．

∵P∨Q为假命题，

∴命题P、Q均是假命题，可得“-1≤m≤3”与“m＜1或m＞5”均不成立，

因此有：“m＜-1或m＞3”成立…①，且“1≤m≤5”成立…②

联解①②，可得m的取值范围是3＜m≤5．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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