- 双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
- 共2157题
已知抛物线y2=4x的准线与双曲线
正确答案
2
解析
解：∵y2=4x的准线l：x=-1，
∵抛物线y2=4x的准线与双曲线
∴A（-1，
将A点坐标代入双曲线渐近线方程得
∴b2=3a2，
∴3a2=c2-a2，
即4a2=c2，
∴e=
则双曲线的离心率e为2．
故答案为：2．
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：ax2-y2=1（a＞0）
（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，若该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积不超过
（2）设斜率为1的直线l交C1于P，Q两点，若l与圆x2+y2=1相切且
正确答案
解：（1）双曲线C1：
过点A与渐近线y=
解方程组
∴该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积S=
由S≤
（2）设直线PQ的方程是y=x+b，
∵直线PQ与已知圆相切，∴
由
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=
又y1y2=（x1+b）（x2+b），
由
=2•
即为-2-4+4+2（a-1）=0，解得a=2，
即有双曲线的方程为2x2-y2=1．
解析
解：（1）双曲线C1：
过点A与渐近线y=
解方程组
∴该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积S=
由S≤
（2）设直线PQ的方程是y=x+b，
∵直线PQ与已知圆相切，∴
由
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=
又y1y2=（x1+b）（x2+b），
由
=2•
即为-2-4+4+2（a-1）=0，解得a=2，
即有双曲线的方程为2x2-y2=1．
给出下列命题：
①若y=f（x）是定义在R上的函数，则f‘（x0）=0是函数y=f（x）在x=x0处取得极值的必要不充分条件．
②用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则其中数字2，3相邻的偶数有18个．
③已知函数y=2sin（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）为偶函数，其图象与直线y=2的交点的横坐标为x1，x2，若|x1-x2|的最小值为π，则ω的值为2，θ的值为
④若P为双曲线x2-
其中正确命题的序号是______（把所有正确命题的序号都填上）．
正确答案
②③
解析
解：对于①，先说明充分性不成立，
例如函数y=|x|，在x=0处取得极小值f（0）=0，但f′（x）在x=0处无定义，
说明f′（0）=0不成立，因此充分性不成立；
再说明必要性不成立，设函数f（x）=x3，则f′（x）=3x2在x=0处，f′（x）=0，但x=0不是函数f（x）的极值点，故必要性质不成立．故①错；
对于②，由题意，
若2在末位，则需要从余下的三个数中选出三个数排在百位、千位与万位，故不同的排法有A33=6种
若2不在末位，则必有4在末位，由此，2，3二数先捆在一起，再与两奇数一起参加排列，总的排法有A22×A33=12，
综上由数字1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的五位数中，2和3相邻的偶数共有6+12=18个．故②正确；
对于③：∵y=2sin（wx+θ）为偶函数∴θ=
由诱导公式得函数y=2coswx 又∵其图象与直线y=2某两个交点的横坐标分别为x1，x2，若|x2-x1|的最小值为π
∴函数的周期为π 即 w=2．故③正确；
对于④：∵双曲线的a=1，b=3，c=
由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a=2，
∴|PF1|-4=±2，
∴|PF1|=6或2，但是|PF1|≥c-a=
故答案为：②③．
已知直线l过双曲线C：3x2-y2=9的右顶点，且与双曲线C的一条渐近线平行．若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点恰好在直线l上，则p=______．
正确答案
6
解析
解：3x2-y2=9的右顶点为（
∴直线l的方程为y=
∵抛物线x2=2py（p＞0）的焦点恰好在直线l上，
∴
故答案为：6．
已知椭圆的顶点与双曲线
正确答案
解：双曲线
则椭圆的顶点为（±4，0），
由椭圆的焦点在x轴上，则a=4，
双曲线的离心率为
由于它们的离心率之和为
则椭圆的离心率为
b=
则有椭圆方程为
解析
解：双曲线
则椭圆的顶点为（±4，0），
由椭圆的焦点在x轴上，则a=4，
双曲线的离心率为
由于它们的离心率之和为
则椭圆的离心率为
b=
则有椭圆方程为
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