双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：单选题

单选题

已知双曲线方程为=1，过其右焦点F的直线（斜率存在）交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则的值为（　　）

正确答案

解析

解：法1：∵双曲线的方程为-=1，

∴其右焦点F（5，0），不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，

依题意，直线PQ的方程为：y=x-5．

由得：7x2+90x-369=0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2为方程7x2+90x-369=0的两根，

∴x1+x2=-，y1+y2=（x1-5）+（x2-5）=x1+x2-10=-，

∴线段PQ的中点N（-，-），

∴PQ的垂直平分线方程为y+=-（x+），

令y=0得：x=-．又右焦点F（5，0），

∴|MF|=5+=．①

设点P在其准线上的射影为P′，点Q在其准线上的射影为Q′，

∵双曲线的一条渐近线为y=x，其斜率k=，直线PQ的方程为：y=x-5，其斜率k′=1，

∵k′＜k，

∴直线PQ与双曲线的两个交点一个在左支上，另一个在右支上，不妨设点P在左支，点Q在右支，

则由双曲线的第二定义得：==e==，

∴|PF|=x1-×=x1-3，

同理可得|QF|=3-x2；

∴|PQ|=|QF|-|PF|

=3-x2-（x1-3）

=6-（x1+x2）

=6-×（-）

=．②

∴==．

法2：令过其右焦点F的直线的斜率为0，直线PQ的方程为：y=0，点P、Q就是双曲线的左右顶点，PQ的垂直平分线方程为x=0，即y轴，点M与原点重合，此时|MF|=c=5，|PQ|=2a=6，∴==．

故选B．

题型：填空题

填空题

双曲线的一条渐近线方程为y=，则b=______．

正确答案

解析

解：∵双曲线的一条渐近线方程为y=，∴，解得．

故答案为．

题型：简答题

简答题

已知双曲线C的焦点为F1（-2，0），F2（2，0），且经过P（2，3）．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）问是否存在实数m使得直线l：y=mx+1交双曲线C于A，B两点，且线段AB的中点落在直线x+2y=0上，若存在求m的值；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），

则

∴a=1，b=，

∴双曲线的标准方程为；

（2）y=mx+1代入，整理可得（3-m2）x2-2mx-4=0，

∴线段AB的中点坐标为（，），

代入直线x+2y=0，可得+2×=0，

∴m=-6，此时△＜0，故不存在．

解析

解：（1）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），

则

∴a=1，b=，

∴双曲线的标准方程为；

（2）y=mx+1代入，整理可得（3-m2）x2-2mx-4=0，

∴线段AB的中点坐标为（，），

代入直线x+2y=0，可得+2×=0，

∴m=-6，此时△＜0，故不存在．

题型：单选题

单选题

过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（　　）

正确答案

解析

解：双曲线x2-=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，

过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，

可得yA=2，yB=-2，

∴|AB|=4．

故选：D．

题型：单选题

单选题

若双曲线的渐近线方程为，则双曲线焦点F到渐近线的距离为（　　）

正确答案

解析

解：由双曲线可知其渐进线方程为：y=±x

又由题意知双曲线的渐近线方程为：

∴，解得m=9．

∴双曲线焦点F的坐标为（0，），双曲线焦点F到渐近线的距离为=3．

故选C

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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