双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：单选题

单选题

设抛物线x2=4y的准线与双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的渐近线相交于A，B两点，若|AB|=1，则双曲线C的离心率是（　　）

正确答案

解析

解：抛物线x2=4y的准线方程为y=-1，

∵双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，

∴x=±，

∵|AB|=1，

∴=1，

∴=2，

∴e===．

故选：A．

题型：填空题

填空题

已知AB为过双曲线C的一个焦点F且垂直于实轴的弦，且|AB|为双曲线C的实轴长的2倍，则双曲线C的离心率为______．

正确答案

解析

解：设双曲线C：，焦点F（c，0），

由题设得A点坐标为（c，a），

代入双曲线的方程得到：

所以，a=b

c=a，

∴e==．

故答案为：．

题型：单选题

单选题

过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率e等于（　　）

正确答案

解析

解：由题意可知，|F1F2|=2c，

∵∠，

∴，

∴4a2c2=b4=（c2-a2）2=c4-2a2c2+a4，

整理得e4-6e2+1=0，

解得或（舍去）

故选C．

题型：填空题

填空题

已知F1、F2为双曲线的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，下列四个命题：

①△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=3上；

②△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=2上；

③△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上；

④△PF1F2的内切圆必过（3，0）．

其中真命题的序号是______．

正确答案

①④

解析

解：设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则可知|PA|=|PB|，|F1A|=|F1M|，|F2B|=|F2M|，点P在双曲线右支上，所以|PF1|-|PF2|=2a=6，故|F1M|-|F2M|=6，而|F1M|+|F2M|=2，

设M点坐标为（x，0），

则由|PF1|-|PF2|=2a=6，可得（x+）-（-x）=6，解得x=3，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，

故答案为①④．

题型：简答题

简答题

已知双曲线C1：（a＞0）与直线l：x+y=1相交于A，B两点．

（1）求a的取值范围；

（2）求双曲线离心率e的取值范围；

（3）求|AB|．

正确答案

解：（1）联立，得（1-a2）x2+2a2x-2a2=0，

∵双曲线C1：（a＞0）与直线l：x+y=1相交于A，B两点，

∴，解得：且a≠1．

∴a的取值范围是且a≠1；

（2）∵c2=a2+1，

∴，

∵且a≠1，

∴且，

则双曲线离心率e的取值范围是且；

（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

∴|AB|==

==．

解析

解：（1）联立，得（1-a2）x2+2a2x-2a2=0，

∵双曲线C1：（a＞0）与直线l：x+y=1相交于A，B两点，

∴，解得：且a≠1．

∴a的取值范围是且a≠1；

（2）∵c2=a2+1，

∴，

∵且a≠1，

∴且，

则双曲线离心率e的取值范围是且；

（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

∴|AB|==

==．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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