- 双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
- 共2157题
过双曲线C：
正确答案
解析
解：由题知OA⊥AF，OB⊥BF且∠AOB=90°，
∴∠AOF=45°，又OA=a，OF=c，
∴
∴e=
故答案为：
（1）求证：（
（2）求|AB|的最小值．
正确答案
解：（1）因P（x0，y0）在双曲线C：x2-y2=a2 上，故x02-y02=a2．①
设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x12-y12=a2，②x22-y22=a2 ③
且点A，B分别在双曲线的两支．
②-①得（x1-x0）（x1+x0）=（y1-y0）（y1+y0） ⑤
同理（x2-x0）（x2+x0）=（y2-y0）（y2+y0） ⑥
⑤×⑥÷④得（x1+x0）（x2+x0）=-（y1+y0）（y2+y0）．
∴（
（2）为简单起见，记x0=m，y0=n，不妨设PA的方程为x=m+k（y-n），其中kmn≥0，⑦
代入x2-y2=a2，化简得（k2-1）y2+（2km-2k2n）y-2kmn+（1+k2）n2=0，
解得y1=n，y2=
由弦长公式得|PA|=
设f（k）=|AB|2-4（m2+n2）=|PA|2+|PB|2-4（m2+n2）=
当k→∞时，f（k）→0，∴|AB|的最小值是
解析
解：（1）因P（x0，y0）在双曲线C：x2-y2=a2 上，故x02-y02=a2．①
设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x12-y12=a2，②x22-y22=a2 ③
且点A，B分别在双曲线的两支．
②-①得（x1-x0）（x1+x0）=（y1-y0）（y1+y0） ⑤
同理（x2-x0）（x2+x0）=（y2-y0）（y2+y0） ⑥
⑤×⑥÷④得（x1+x0）（x2+x0）=-（y1+y0）（y2+y0）．
∴（
（2）为简单起见，记x0=m，y0=n，不妨设PA的方程为x=m+k（y-n），其中kmn≥0，⑦
代入x2-y2=a2，化简得（k2-1）y2+（2km-2k2n）y-2kmn+（1+k2）n2=0，
解得y1=n，y2=
由弦长公式得|PA|=
设f（k）=|AB|2-4（m2+n2）=|PA|2+|PB|2-4（m2+n2）=
当k→∞时，f（k）→0，∴|AB|的最小值是
设P为双曲线
A
B
C
D
正确答案
解析
由直线的斜率公式，得
KPF=
根据到角公式，得
tan∠APF=
化简，得tan∠APF=
此时 
则∠APF的余弦的最小值
故选B．
F1，F2为双曲线
正确答案
解：在Rt△PF2F1中，设|PF1|=d1，|PF2|=d2，∵∠PF1F2=30°
∴
∵|F2F1|=2c
∴tan30°=
∴
∴
∴
∴双曲线的渐近线方程为
解析
解：在Rt△PF2F1中，设|PF1|=d1，|PF2|=d2，∵∠PF1F2=30°
∴
∵|F2F1|=2c
∴tan30°=
∴
∴
∴
∴双曲线的渐近线方程为
已知点F是双曲线
A（1，+∞）
B（1，2）
C（1，1+
D（2，1+
正确答案
解析
△ABE中，|AE|=|BE|，
∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角
由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|
∵|AF|=
∴
两边都除以a2，得e2-e-2＜0，解之得-1＜e＜2
∵双曲线的离心率e＞1
∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）
故选：B
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