双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：简答题

简答题

已知双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0．

（1）若双曲线经过，求双曲线方程；

（2）若双曲线的焦距是，求双曲线方程．

正确答案

解：（1）∵双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0．

∴设双曲线方程为：4x2-9y2=λ（λ≠0）

∵双曲线经过，

∴4×（）2-9×22=λ，得λ=-12，

可得双曲线方程为：4x2-9y2=-12，化为标准形式得：．

（2）①当双曲线焦点在x轴上时，设方程为

∵渐近线的方程为2x±3y=0且焦距是，

∴，解之得a=3，b=2．因此双曲线方程为

②当双曲线焦点在y轴上时，设方程为

用类似于①的方法，可解得a=2，b=3．因此双曲线方程为

综上所述，可得双曲线方程为或．

解析

解：（1）∵双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0．

∴设双曲线方程为：4x2-9y2=λ（λ≠0）

∵双曲线经过，

∴4×（）2-9×22=λ，得λ=-12，

可得双曲线方程为：4x2-9y2=-12，化为标准形式得：．

（2）①当双曲线焦点在x轴上时，设方程为

∵渐近线的方程为2x±3y=0且焦距是，

∴，解之得a=3，b=2．因此双曲线方程为

②当双曲线焦点在y轴上时，设方程为

用类似于①的方法，可解得a=2，b=3．因此双曲线方程为

综上所述，可得双曲线方程为或．

题型：单选题

单选题

已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点分别为F1、F2、A、B为其左、右两个顶点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且∠MAB=30°，则该双曲线的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：双曲线=1的渐近线方程为y=x，

以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2，

将直线y=x代入圆的方程，可得，

x==a（负的舍去），y=b，

即有M（a，b），又A（-a，0），

由于∠MAB=30°，则直线AM的斜率为k=，

又k=，则3b2=4a2=3（c2-a2），

即有3c2=7a2，

则离心率e=．

故选B．

题型：单选题

单选题

椭圆C：+=1（a＞b＞0）和双曲线D：-=1（A＞0，B＞0）有相同的焦点F1、F2，椭圆C和双曲线D在第一象限内的交点为P，且PF2垂直于x轴．设椭圆的离心率为e1，双曲线D的离心率为e2，则e1e2等于（　　）

D不确定

正确答案

解析

解：设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=m，PF2=n．

∴m+n=2a，m-n=2A，m2=n2+4c2，

∴aA=c2，

∴e1e2==1．

故选：A．

题型：填空题

填空题

（2015秋•雅安期末）已知双曲线的方程为-x2=1，点A的坐标为（0，-），B是圆（x-）2+y2=1上的点，点M在双曲线的上支上，则|MA|+|MB|的最小值为______．

正确答案

解析

解：设点D的坐标为（0，），则点A，D是双曲线的焦点，

由双曲线的定义，得|MA|-|MD|=2a=4．

∴|MA|+|MB|=4+|MB|+|MD|≥4+|BD|，

又B是圆（x-）2+y2=1上的点，

则圆的圆心为C（，0），半径为1，

故|BD|≥|CD|-1=-1=-1，

从而|MA|+|MB|≥4+|BD|≥+3，

当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|+|MB|的最小值为+3．

故答案为：+3．

题型：填空题

填空题

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0），右顶点是A，若双曲线C右支上存在两点B、C，使△ABC为正三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是______．

正确答案

（1，）

解析

解：由题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，

要使该双曲线右支上存在两点B，C使得△ABC为正三角形，

则需过右顶点A，且斜率为的直线与双曲线有两个不同的交点，

也只需其斜率大于渐近线y=x的斜率．

∴＞，∴b＜a，

即b2＜a2，

即有c2＜a2+a2，

即为c＜a，

即有1＜e＜．

故答案为：（1，）．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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