双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：填空题

填空题

已知圆C过双曲线-=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是______．

正确答案

解析

解：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，

所以圆C的圆心的横坐标为4．

故圆心坐标为（4，±）．

∴它到中心（0，0）的距离为d==．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

已知双曲线的右焦点为F（3，0），且以直线x=1为右准线．求双曲线方程．

正确答案

解：由题意得，c=3且=1．

∴a2=3，∴b2=c2-a2=9-3=6，

又∵焦点在x轴上，

因此，所求的双曲线方程为．

解析

解：由题意得，c=3且=1．

∴a2=3，∴b2=c2-a2=9-3=6，

又∵焦点在x轴上，

因此，所求的双曲线方程为．

题型：填空题

填空题

若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为______．

正确答案

或

解析

解：由题意可得，当焦点在x轴上时，=，∴===．

当焦点在y轴上时，=，∴===，

故答案为：或．

题型：简答题

简答题

双曲线S的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=，直线x-3y+5=0上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于．

（1）求双曲线S的方程；

（2）设经过点（-2，0），斜率等于k的直线与双曲线S交于A，B两点，且以A，B，P（0，1）为顶点的三角形ABP是以AB为底的等腰三角形，求k的值．

正确答案

解：（1）e==，又a2+b2=c2，

设右焦点为（c，0），由题意可得d==，

解得c=，b=1，a=，

可得双曲线的方程为-y2=1；

（2）设直线AB：y=k（x+2），

当k=0时，可得A（-，0），B（，0），

即有A，B，P（0，1）为顶点的三角形ABP

是以AB为底的等腰三角形；

当k≠0时，代入双曲线的方程可得

（1-2k2）x2-8k2x-8k2-2=0，

判别式△=64k4+4（1-2k2）（8k2+2）=8+16k2＞0恒成立，

x1+x2=，则AB的中点M坐标为（，），

由题意可得PM⊥AB，可得kPM=-，

即有=-，解得k=．

综上可得k=0，或k=．

解析

解：（1）e==，又a2+b2=c2，

设右焦点为（c，0），由题意可得d==，

解得c=，b=1，a=，

可得双曲线的方程为-y2=1；

（2）设直线AB：y=k（x+2），

当k=0时，可得A（-，0），B（，0），

即有A，B，P（0，1）为顶点的三角形ABP

是以AB为底的等腰三角形；

当k≠0时，代入双曲线的方程可得

（1-2k2）x2-8k2x-8k2-2=0，

判别式△=64k4+4（1-2k2）（8k2+2）=8+16k2＞0恒成立，

x1+x2=，则AB的中点M坐标为（，），

由题意可得PM⊥AB，可得kPM=-，

即有=-，解得k=．

综上可得k=0，或k=．

题型：填空题

填空题

已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x3+2相切，则该双曲线的离心率等于______．

正确答案

解析

解：双曲线的渐近线方程为，函数y=x3+2，求导函数可得y=3x2，

设切点坐标为（m，n），则

∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x3+2相切，

∴，∴m=1，=3，∴b=3a，

∴c2=a2+b2=10a2，∴

∴e==

故答案为：

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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