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题型:填空题
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填空题

已知圆C过双曲线-=1的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是______

正确答案

解析

解:由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点,

所以圆C的圆心的横坐标为4.

故圆心坐标为(4,±).

∴它到中心(0,0)的距离为d==

故答案为:

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题型:简答题
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简答题

已知双曲线的右焦点为F(3,0),且以直线x=1为右准线.求双曲线方程.

正确答案

解:由题意得,c=3且=1.

∴a2=3,∴b2=c2-a2=9-3=6,

又∵焦点在x轴上,

因此,所求的双曲线方程为

解析

解:由题意得,c=3且=1.

∴a2=3,∴b2=c2-a2=9-3=6,

又∵焦点在x轴上,

因此,所求的双曲线方程为

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题型:填空题
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填空题

若双曲线的渐近线方程为,则双曲线的离心率为______

正确答案

解析

解:由题意可得,当焦点在x轴上时,=,∴===

当焦点在y轴上时,=,∴===

故答案为: 或

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题型:简答题
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简答题

双曲线S的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=,直线x-3y+5=0上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于

(1)求双曲线S的方程;

(2)设经过点(-2,0),斜率等于k的直线与双曲线S交于A,B两点,且以A,B,P(0,1)为顶点的三角形ABP是以AB为底的等腰三角形,求k的值.

正确答案

解:(1)e==,又a2+b2=c2

设右焦点为(c,0),由题意可得d==

解得c=,b=1,a=

可得双曲线的方程为-y2=1;

(2)设直线AB:y=k(x+2),

当k=0时,可得A(-,0),B(,0),

即有A,B,P(0,1)为顶点的三角形ABP

是以AB为底的等腰三角形;

当k≠0时,代入双曲线的方程可得

(1-2k2)x2-8k2x-8k2-2=0,

判别式△=64k4+4(1-2k2)(8k2+2)=8+16k2>0恒成立,

x1+x2=,则AB的中点M坐标为(),

由题意可得PM⊥AB,可得kPM=-

即有=-,解得k=

综上可得k=0,或k=

解析

解:(1)e==,又a2+b2=c2

设右焦点为(c,0),由题意可得d==

解得c=,b=1,a=

可得双曲线的方程为-y2=1;

(2)设直线AB:y=k(x+2),

当k=0时,可得A(-,0),B(,0),

即有A,B,P(0,1)为顶点的三角形ABP

是以AB为底的等腰三角形;

当k≠0时,代入双曲线的方程可得

(1-2k2)x2-8k2x-8k2-2=0,

判别式△=64k4+4(1-2k2)(8k2+2)=8+16k2>0恒成立,

x1+x2=,则AB的中点M坐标为(),

由题意可得PM⊥AB,可得kPM=-

即有=-,解得k=

综上可得k=0,或k=

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题型:填空题
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填空题

已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线与曲线y=x3+2相切,则该双曲线的离心率等于______

正确答案

解析

解:双曲线的渐近线方程为,函数y=x3+2,求导函数可得y=3x2

设切点坐标为(m,n),则

∵双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线与曲线y=x3+2相切,

,∴m=1,=3,∴b=3a,

∴c2=a2+b2=10a2,∴

∴e==

故答案为:

百度题库 > 高考 > 数学 > 双曲线的性质(顶点、范围、对称性、离心率)

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