- 双曲线的性质(顶点、范围、对称性、离心率)
- 共2157题
已知圆C过双曲线-
=1的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是______.
正确答案
解析
解:由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点,
所以圆C的圆心的横坐标为4.
故圆心坐标为(4,±).
∴它到中心(0,0)的距离为d==
.
故答案为:.
已知双曲线的右焦点为F(3,0),且以直线x=1为右准线.求双曲线方程.
正确答案
解:由题意得,c=3且=1.
∴a2=3,∴b2=c2-a2=9-3=6,
又∵焦点在x轴上,
因此,所求的双曲线方程为.
解析
解:由题意得,c=3且=1.
∴a2=3,∴b2=c2-a2=9-3=6,
又∵焦点在x轴上,
因此,所求的双曲线方程为.
若双曲线的渐近线方程为,则双曲线的离心率为______.
正确答案
或
解析
解:由题意可得,当焦点在x轴上时,=
,∴
=
=
=
.
当焦点在y轴上时,=
,∴
=
=
=
,
故答案为: 或
.
双曲线S的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=,直线
x-3y+5=0上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于
.
(1)求双曲线S的方程;
(2)设经过点(-2,0),斜率等于k的直线与双曲线S交于A,B两点,且以A,B,P(0,1)为顶点的三角形ABP是以AB为底的等腰三角形,求k的值.
正确答案
解:(1)e==
,又a2+b2=c2,
设右焦点为(c,0),由题意可得d==
,
解得c=,b=1,a=
,
可得双曲线的方程为-y2=1;
(2)设直线AB:y=k(x+2),
当k=0时,可得A(-,0),B(
,0),
即有A,B,P(0,1)为顶点的三角形ABP
是以AB为底的等腰三角形;
当k≠0时,代入双曲线的方程可得
(1-2k2)x2-8k2x-8k2-2=0,
判别式△=64k4+4(1-2k2)(8k2+2)=8+16k2>0恒成立,
x1+x2=,则AB的中点M坐标为(
,
),
由题意可得PM⊥AB,可得kPM=-,
即有=-
,解得k=
.
综上可得k=0,或k=.
解析
解:(1)e==
,又a2+b2=c2,
设右焦点为(c,0),由题意可得d==
,
解得c=,b=1,a=
,
可得双曲线的方程为-y2=1;
(2)设直线AB:y=k(x+2),
当k=0时,可得A(-,0),B(
,0),
即有A,B,P(0,1)为顶点的三角形ABP
是以AB为底的等腰三角形;
当k≠0时,代入双曲线的方程可得
(1-2k2)x2-8k2x-8k2-2=0,
判别式△=64k4+4(1-2k2)(8k2+2)=8+16k2>0恒成立,
x1+x2=,则AB的中点M坐标为(
,
),
由题意可得PM⊥AB,可得kPM=-,
即有=-
,解得k=
.
综上可得k=0,或k=.
已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线与曲线y=x3+2相切,则该双曲线的离心率等于______.
正确答案
解析
解:双曲线的渐近线方程为,函数y=x3+2,求导函数可得y=3x2,
设切点坐标为(m,n),则
∵双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线与曲线y=x3+2相切,
∴,∴m=1,
=3,∴b=3a,
∴c2=a2+b2=10a2,∴
∴e==
故答案为:
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