双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：单选题

单选题

设F为双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F且斜率为-1的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若=-3，则双曲线C的离心率e=（　　）

正确答案

解析

解：设F（c，0），则过双曲线：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点F

作斜率为-1的直线为：y=-（x-c），

而渐近线的方程是：y=x，

由得：B（，-），

由得，A（，），

=（，-），=（，-），

由=-3，则=-3•，

即有b=a，则c==a，

则e==．

故选D．

题型：填空题

填空题

在△ABC中，AB=4，BC=6，∠CBA=，．若双曲线Γ以AB为实轴，且过点C，则Γ的焦距为______．

正确答案

解析

解：如图，设双曲线方程为，

则由题意，2a=4，a=2，

在△ABC中，AB=4，BC=6，∠CBA=，

∴C的横坐标为-（-2）=-4，纵坐标为．

∵双曲线过点C，

则，解得：b2=12，

∴c2=a2+b2=16，c=4．

则Γ的焦距为8．

故答案为：8．

题型：填空题

填空题

若F是双曲线的一个焦点，P1、P2、P3、P4是双曲线上同一支上任意4个不同的点，且，则=______．

正确答案

解析

解：不妨设F是双曲线的左焦点，则F（-，0）

设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），

∵，

∴（（x1+，y1）+（（x2+，y2）+（（x3+，y3）+（x4+，y4）=（0，0）

∴x1+x2+x3+x4=-4

∵，，，

∴=-8-（x1+x2+x3+x4）=-8-=6

故答案为：6．

题型：单选题

单选题

双曲线方程为，过右焦点F向一条渐近线做垂线，垂足为M，如图所示，已知∠MFO=30°（O为坐标原点），则其离心率为（　　）

正确答案

解析

解：依题意可知，其中一个渐近线的方程y=x，

|OF|=c=，F（，0）

|MF|==a

∵∠MFO=30°

∴|OF|=2|MF|，即c=2a

∴e==2

故选D

题型：填空题

填空题

已知双曲线-=1上一点P到焦点F1的距离为8，则P到焦点F2的距离为______．

正确答案

2或14

解析

解：由双曲线的定义，可得||PF2|-|PF1||=2a=6，

因为|PF1|=8，所以|PF2|=2或14．

故答案为：2或14．

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