双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：简答题

简答题

已知椭圆C1：与双曲线C2：（b2＞0）的焦点相同，离心率之和为．

（1）求b1、b2的值；

（2）设C1与C2在第一象限的交点为P，求点P到椭圆左焦点的距离．

正确答案

解：（1）∵双曲线与椭圆的焦点相同，

∴c1=c2，

∵离心率之和为，∴，…（4分）

∴c1=c2=2，

∴． …（8分）

（2）椭圆与双曲线有相同的焦点，设左、右焦点分别为F1，F2，

则由椭圆的定义知PF1+PF2=6（1）…（10分）

由双曲线的定义知PF1-PF2=2（2）…（12分）

由（1）+（2）得PF1=4

点P到椭圆左焦点的距离为4． …（15分）

解析

解：（1）∵双曲线与椭圆的焦点相同，

∴c1=c2，

∵离心率之和为，∴，…（4分）

∴c1=c2=2，

∴． …（8分）

（2）椭圆与双曲线有相同的焦点，设左、右焦点分别为F1，F2，

则由椭圆的定义知PF1+PF2=6（1）…（10分）

由双曲线的定义知PF1-PF2=2（2）…（12分）

由（1）+（2）得PF1=4

点P到椭圆左焦点的距离为4． …（15分）

题型：填空题

填空题

已知F1，F2是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A，若|OA|=b，则该双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：∵F1，F2是双曲线的左右焦点，

延长F2A交PF1于Q，

∵PA是∠F1PF2的角平分线，∴PQ=PF2，

∵P在双曲线上，∴PF1-PF2=2a，

∴PF1-PQ=QF1=2b，

∵O是F1F2中点，A是F2Q中点，

∴OA是F2F1Q的中位线，∴QF1=2a=2OA=2，

∴a=1，c=，

∴双曲线的离心率e=．

故答案为：．

题型：填空题

填空题

若4a2-3b2=12，则|2a-b|的最小值是______．

正确答案

解析

解：4a2-3b2=12，即为-=1，

可设a=secα，b=2tanα，

则有2a-b=2secα-2tanα=2•（）

可令=t，

即有=sinα+tcosα=sin（α+θ）（θ为辅助角），

由于|sin（α+θ）|≤1，即1+t2≥3，

解得|t|，

则有|2a-b|=|2t|．

则最小值为2．

故答案为：2

题型：单选题

单选题

如果双曲线的两条渐近线的方程是，焦点坐标是（-，0）和（，0），那么它的两条准线之间的距离是（　　）

正确答案

解析

解：∵双曲线的焦点坐标是（-，0）和（，0），

∴设双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0）

由渐近线的方程是，得=…①

又有a2+b2=26…②

将①②联解，得a=2，b=3，

因此，双曲线的准线方程为x=，即x=

可得两条准线之间的距离是

故选：A

题型：填空题

填空题

已知焦点在x轴上的椭圆C1：=1和双曲线C2：=1的离心率互为倒数，它们在第一象限的交点坐标为（，），则双曲线C2的标准方程为______．

正确答案

解析

解：（1）把点（，），代入椭圆=1，解得a2=16，a=4．

∴椭圆C1，c2=a2-b2=4，即c=2．

∴椭圆C的离心率为e1=，∴双曲线C2的离心率为e2=2，

由题意可得，解得，

∴双曲线C2为：．

故答案为：．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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