双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：填空题

填空题

若双曲线的渐近线的方程为y=±3x，且经过点，则双曲线的方程是______．

正确答案

解析

解：由题意可知，可设双曲线的方程是，把点代入方程解得 k=1，

故所求的双曲线的方程是，

故答案为：．

题型：单选题

单选题

已知F1，F2分别为双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点F2到直线AF1的距离为2a，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）

A（1，）

B（1，]

C（，+∞）

D[，+∞）

正确答案

解析

解：设A点坐标为（m，n），则直线AF1的方程为（m+c）y-n（x+c）=0，

右焦点F2（c，0）到该直线的距离为2a，所以=2a，

所以n=（m+c），

所以直线AF1的方程为ax-by+ac=0，

与-=1联立可得（b4-a4）x2-2a4cx-a4c2-a2b4=0，

因为A在右支上，所以b4-a4＞0，

所以b2-a2＞0，

所以c2-2a2＞0，

所以e＞．

故选：C．

题型：填空题

填空题

已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率等于______．

正确答案

解析

解：焦点在x轴上的双曲线=1的渐近线方程为

y=x，

由题意可得，=，

即b=a，c===a，

即有e==．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

已知过点P（O，1）斜率为k的直线l交双曲线x2-=1于A，B两点．

（1）求k的取值范围；

（2）当k=1时，求△AOB的面积．

正确答案

解：（1）设直线l：y=kx+1，

代入双曲线的方程可得，

（3-k2）x2-2kx-4=0，

由3-k2≠0，△＞0，可得

k≠±，且4k2+16（3-k2）＞0，

解得-2＜k＜2且k≠±；

（2）由k=1，可得直线y=x+1，

代入双曲线的方程，可得x2-x-2=0，

解得x=2或-1，

即有A（2，3），B（-1，0），

则△AOB的面积为×3×1=．

解析

解：（1）设直线l：y=kx+1，

代入双曲线的方程可得，

（3-k2）x2-2kx-4=0，

由3-k2≠0，△＞0，可得

k≠±，且4k2+16（3-k2）＞0，

解得-2＜k＜2且k≠±；

（2）由k=1，可得直线y=x+1，

代入双曲线的方程，可得x2-x-2=0，

解得x=2或-1，

即有A（2，3），B（-1，0），

则△AOB的面积为×3×1=．

题型：单选题

单选题

过双曲线-=1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足是恰在线段OF（O为坐标原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：设垂足为D，

根据双曲线方程可知其中一个渐近线为y=x，

焦点为F（，0）

D点坐标（，）

∴kDF==-，

∵OD⊥DF

∴kDF•kOD=-1

∴=，即a=b

∴e===．

故选B．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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