双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：填空题

填空题

如果双曲线的焦距、虚轴长、实轴长成等比数列，则离心率e为______．

正确答案

解析

解：∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的焦距、虚轴长、实轴长成等比数列，

∴（2b）2=（2a）•（2c）

∴b2=ac，

又∵b2=c2-a2

∴c2-a2=ac

∴e2-e-1=0

∴e=，

又在双曲线中e＞1

∴e=．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

已知双曲线的方程为x2-=1，如图，点A的坐标为（-，0），B是圆x2+（y-）2=1上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|+|MB|的最小值．

正确答案

解：设点D的坐标为（，0），则点A，D是双曲线的焦点，

由双曲线的定义，得|MA|-|MD|=2a=2．

∴|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，

又B是圆x2+（y-）2=1上的点，圆的圆心为C（0，），

半径为1，故|BD|≥|CD|-1=-1，从而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥+1，

当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|+|MB|的最小值为+1．

解析

解：设点D的坐标为（，0），则点A，D是双曲线的焦点，

由双曲线的定义，得|MA|-|MD|=2a=2．

∴|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，

又B是圆x2+（y-）2=1上的点，圆的圆心为C（0，），

半径为1，故|BD|≥|CD|-1=-1，从而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥+1，

当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|+|MB|的最小值为+1．

题型：填空题

填空题

已知双曲线（a＞0）的一条渐近线为y=kx（k＞0），离心率e=，则双曲线方程为______．

正确答案

解析

解：∵双曲线方程为（a＞0），

∴该双曲线的渐近线方程为y=，

又∵双曲线一条渐近线为y=kx，∴k=

双曲线的离心率e=k，即e=•

∴=•，得c=，a==2

因此，双曲线方程为

故答案为：

题型：单选题

单选题

（2015秋•吉林校级月考）已知双曲线-=1，（a＞b＞0），A1，A2是双曲线实轴的两个端点，MN是垂直于实轴所在直线的弦的两个端点，则A1M与A2N交点的轨迹方程是（　　）

A+=1

B+=1

C-=1

D-=1

正确答案

解析

解：∵A1、A2是双曲线的左、右顶点，∴A1（-a，0），A2（a，0）

∵MN是双曲线-=1的弦，且MN与x轴垂直，∴设M（x0，y0），则N（x0，-y0）

则直线MA1和NA2的方程分别为y=（x+a），y=（x-a）

联立两方程，解得x0=，y0=，

∵M（x0，y0）在双曲线上，代入双曲线方程，得+=1

即直线MA1和NA2的交点的轨迹C的方程为+=1．

故选：A．

题型：填空题

填空题

如图所示，直线x=2与双曲线C：的渐近线交于E1，E2两点，记=，=，任取双曲线C上的点P，若=a+b，则实数a和b满足的一个等式是______．

正确答案

4ab=1

解析

解：∵双曲线C的方程是

∴双曲线C的渐近线方程为y=±x

∴直线x=2与双曲线C的渐近线交于点E1（2，1）、E1（2，-1），可得=（2，1），=（2，-1），

设双曲线C上的点P坐标为（x0，y0），

∵=a+b，

∴，即点P坐标为（2a+2b，a-b）

∵点P在双曲线C：上

∴-（a-b）2=1，即4ab=1

故答案为：4ab=1

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