双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：单选题

单选题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）有一个共同的焦点F，点M是双曲线与抛物线的一个交点，若|MF|=p，则此双曲线的离心率等于（　　）

正确答案

解析

解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0）．

∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）有一个共同的焦点F，

∴c=．

∵点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=p，

∴M的横坐标为p，

代入抛物线方程，可得M的纵坐标为±p，

将M的坐标代入双曲线方程，可得

∴e=2

故选：A．

题型：单选题

单选题

已知双曲线M：和双曲线N：，其中b＞a＞0，且双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线M的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：∵双曲线M方程为：，双曲线N方程为：，其中b＞a＞0，

∴两个双曲线的焦距相等，设其焦距为2c，其中c满足：

∵双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，

∴交点坐标为：（c，c），代入双曲线M（或双曲线N）的方程，得

，结合b2=c2-a2得：，

去分母，得c2（c2-a2）-a2c2=a2（c2-a2），

整理，得c4-3a2c2+a4=0，所以e4-3e2+1=0，解之得e2==（）2（另一值小于1舍去）

∴双曲线M的离心率e=

故选A

题型：单选题

单选题

设F1、F2是双曲线-=1（a＞0）的两个焦点，点P在双曲线上，且•=0，||•||=2，则a的值等于（　　）

正确答案

解析

解：由于•=0，所以三角形PF1F2为直角三角形，故PF12+PF22=4c2=20a

所以（PF1-PF2）2+2PF1•PF2=20a，

由双曲线定义得（4）2+4=20a，解得a=1，

故选：B．

题型：填空题

填空题

已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为、，点P是第一象限内双曲线上的点，且，tan∠PF2F1=-2，则双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：∵△PF1F2中，sin∠PF1F2═，sin∠PF1F2═，

∴由正弦定理得，…①

又∵，tan∠PF2F1=-2，

∴tan∠F1PF2=-tan（∠PF2F1+∠PF1F2）=-=，可得cos∠F1PF2=，

△PF1F2中用余弦定理，得+-2PF1•PF2cos∠F1PF2==3，…②

①②联解，得，可得，

∴双曲线的，结合，得离心率

故答案为：

题型：填空题

填空题

设双曲线（a＞0）的渐近线方程为3x±2y=0，则该双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：∵双曲线（a＞0）的渐近线方程为3x±2y=0，

∴，

∴=a，

∴双曲线的离心率e==．

故答案为：．

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