双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：单选题

单选题

已知双曲线一焦点坐标为（0，-5），一渐近线方程为3x+4y=0，则双曲线的离心率为（　　）

C或

正确答案

解析

解：∵双曲线一焦点坐标为（0，-5），

∴双曲线方程形式为：

∵渐近线方程为3x+4y=0，

∴c=5，，c2=a2+b2

解得：a=3，e==

故选：D

题型：简答题

简答题

（2015秋•潜山县校级月考）已知中心在原点的双曲线C的右焦点F（2，0），且F到双曲线的一条渐近线的距离为1．

（I）求双曲线C的方程；

（II）若直线l：y=kx+2与双曲线C恒有两个不同的交点 A，B，且（ O为原点），求k的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）∵中心在原点的双曲线C的右焦点F（2，0），且F到双曲线的一条渐近线的距离为1，

∴c=2，b=1，

∴a=

∴双曲线C的方程为=1

（Ⅱ）直线l：y=kx+2与双曲线C，联立，可得（1-3k2）x2-12kx-15=0，

由直线l与双曲线交于不同的两点得1-3k2≠0，△＞0，

即k2≠，且k2＜①

x1+x2=，x1x2=-

由，得x1x2+y1y2＞2，

而x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2+2k（x1+x2）+4=

于是＞2，

∴＜k2＜，②

由①②得＜k2＜，

∴k的取值范围为（-）∪（）．

解析

解：（Ⅰ）∵中心在原点的双曲线C的右焦点F（2，0），且F到双曲线的一条渐近线的距离为1，

∴c=2，b=1，

∴a=

∴双曲线C的方程为=1

（Ⅱ）直线l：y=kx+2与双曲线C，联立，可得（1-3k2）x2-12kx-15=0，

由直线l与双曲线交于不同的两点得1-3k2≠0，△＞0，

即k2≠，且k2＜①

x1+x2=，x1x2=-

由，得x1x2+y1y2＞2，

而x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2+2k（x1+x2）+4=

于是＞2，

∴＜k2＜，②

由①②得＜k2＜，

∴k的取值范围为（-）∪（）．

题型：简答题

简答题

已知双曲线=1的两焦点为F1、F2．

（1）若点M在双曲线上，且=0，求M点到x轴的距离；

（2）若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点（3，2），求双曲线C的方程．

正确答案

解：（1）已知双曲线=1的焦点为F1（-2，0），F2（2，0）．

∵=0，

∴MF1⊥MF2，

∴点M在以F1F2为直径的圆x2+y2=20上，

与=1联立，消去x，可得

∴得|y|=，

∴点M到x轴的距离为，

（2）设双曲线C的方程为，（16+λ＞4-λ＞0）

代入（3，2），可得，

∴λ=-4，

∴双曲线C的方程为．

解析

解：（1）已知双曲线=1的焦点为F1（-2，0），F2（2，0）．

∵=0，

∴MF1⊥MF2，

∴点M在以F1F2为直径的圆x2+y2=20上，

与=1联立，消去x，可得

∴得|y|=，

∴点M到x轴的距离为，

（2）设双曲线C的方程为，（16+λ＞4-λ＞0）

代入（3，2），可得，

∴λ=-4，

∴双曲线C的方程为．

题型：单选题

单选题

已知实数1，m，9成等比数列，则圆锥曲线=1的离心率为（　　）

C或2

D或

正确答案

解析

解：∵1，m，9构成一个等比数列，

∴m2=1×9，

则m=±3．

当m=3时，圆锥曲线+y2=1是椭圆，它的离心率是=；

当m=-3时，圆锥曲线+y2=1是双曲线，它的离心率是=2．

则离心率为或2．

故选C．

题型：单选题

单选题

设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，P为双曲线上的一个动点（不是顶点），从点A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP分别交于Q，R两点，其中O为坐标原点，则|OP|2与|OQ|•|OR|的大小关系为（　　）

A|OP|2＜|OQ|•|OR|

B|OP|2＞|OQ|•|OR|

C|OP|2=|OQ|•|OR|

D不确定

正确答案

解析

解：取特殊点P（c，），

则直线OP的方程为y=x，

又直线AQ的方程为y=（x-a），

直线AR的方程为y=-（x-a），

解得Q，R的坐标为（，），（，），

易得|OP|2=|OQ|•|OR|．

故选C

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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