双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：填空题

填空题

双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是______．

正确答案

（1，3]

解析

解：∵|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a，

而双曲线右支上到右焦点距离最近的点为右顶点，

∴有c-a≤2a，

∴1＜e≤3，

故答案为（1，3]．

题型：单选题

单选题

设F1，F2是双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，若双曲线C上存在点P满足|PF1|：|PF2|=2：1且∠F1PF2=90°，则双曲线C的渐近线方程是（　　）

Ax±2y=0

B2x±y=0

C5x±4y=0

D4x±5y=0

正确答案

解析

解：根据题意，得；

∴|PF1|=4a，|PF2|=2a；

又∠F1PF2=90°，

∴+=，

即（4a）2+（2a）2=（2c）2=4a2+4b2，

∴b2=4a2，

∴；

∴双曲线C的渐近线方程是2x±y=0．

故选：B．

题型：简答题

简答题

求下列曲线的标准方程：

（1）与椭圆x2+4y2=16有相同焦点，过点；

（2）与椭圆+=1有相同的焦点，直线y=x为一条渐近线，求双曲线C的方程．

（3）焦点在直线3x-4y-12=0的抛物线的标准方程．

正确答案

解：（1）椭圆x2+4y2=16，可化为=1，焦点（±2，0）

设椭圆的方程为=1，

代入，可得=1，

∴m=4，

∴椭圆的方程为

（2）椭圆+=1的焦点为（±2，0），∴c=2，

∵直线y=x为一条渐近线，

∴=，

∴a=1，b=，

∴双曲线C的方程为；

（3）因为是标准方程，所以其焦点应该在坐标轴上，

所以其焦点坐标即为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点

所以其焦点坐标为（4，0）和（0，-3）

当焦点为（4，0）时可知其方程中的P=8，所以其方程为y2=16x，

当焦点为（0，-3）时可知其方程中的P=6，所以其方程为x2=-12y，

综上所述，抛物线的方程为y2=16x或x2=-12y．

解析

解：（1）椭圆x2+4y2=16，可化为=1，焦点（±2，0）

设椭圆的方程为=1，

代入，可得=1，

∴m=4，

∴椭圆的方程为

（2）椭圆+=1的焦点为（±2，0），∴c=2，

∵直线y=x为一条渐近线，

∴=，

∴a=1，b=，

∴双曲线C的方程为；

（3）因为是标准方程，所以其焦点应该在坐标轴上，

所以其焦点坐标即为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点

所以其焦点坐标为（4，0）和（0，-3）

当焦点为（4，0）时可知其方程中的P=8，所以其方程为y2=16x，

当焦点为（0，-3）时可知其方程中的P=6，所以其方程为x2=-12y，

综上所述，抛物线的方程为y2=16x或x2=-12y．

题型：单选题

单选题

若双曲线（a＞0，b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

A（1，2）

B（2，+∞）

C（1，5）

D（5，+∞）

正确答案

解析

解：∵

则3e2-5e-2＞0，

∴e＞2或（舍去），

∴e∈（2，+∞），

故选B．

题型：简答题

简答题

求曲线的方程：

（1）求中心在原点，左焦点为F（-，0），且右顶点为D（2，0）的椭圆方程；

（2）求中心在原点，一个顶点坐标为（3，0），焦距为10的双曲线方程．

正确答案

解：（1）由题意可得椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），

由题意可得：c=-，a=2，

所以解得：b=1，

所以椭圆方程为：+y2=1．

（2）因为双曲线的一个顶点坐标为（3，0），

所以双曲线的焦点在x轴上，

所以设双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0），

由已知得：a=3，c=5，

解得：b=4，

所以双曲线方程为：-=1．

解析

解：（1）由题意可得椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），

由题意可得：c=-，a=2，

所以解得：b=1，

所以椭圆方程为：+y2=1．

（2）因为双曲线的一个顶点坐标为（3，0），

所以双曲线的焦点在x轴上，

所以设双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0），

由已知得：a=3，c=5，

解得：b=4，

所以双曲线方程为：-=1．

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