双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：填空题

填空题

过双曲线-=1右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是______．

正确答案

（，）

解析

解：由题意可得双曲线的渐近线斜率2＜＜3，

∵===，

∴＜e＜，

∴双曲线离心率的取值范围为（，）．

故答案为：（，）．

题型：填空题

填空题

已知P为双曲线（a＞0，b＞0）的左支上一点，F1，F2分别是它的左右焦点，直线PF2与圆：x2+y2=a2相切，切点为线段PF2的中点，则该双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：由题意，△PF1F2为直角三角形，PF1⊥PF2，|PF1|=2a，|PF2|=|PF1|+2a=4a，

在直角△PF1F2中，4c2=4a2+16a2，

∴c2=5a2，

∴e=．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

已知双曲线x2-=1，试问：是否存在过点A（2，1）的直线与双曲线交于相异两点P、Q．且点A平分线段PQ？

正确答案

解：假设存在这样的直线，点A平分线段PQ．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

则x1+x2=4，y1+y2=2，

∵4x12-y12=4，4x22-y22=4，

∴16（x1-x2）-2（y1-y2）=0，

∴kPQ=8，

∴直线的方程为y-1=8（x-2），即8x-y-15=0．

联立双曲线方程，消去y，可得60x2-240x+229=0，

由判别式为2402-4×60×229＞0，

可得存在这样的直线，点A平分线段PQ．

解析

解：假设存在这样的直线，点A平分线段PQ．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

则x1+x2=4，y1+y2=2，

∵4x12-y12=4，4x22-y22=4，

∴16（x1-x2）-2（y1-y2）=0，

∴kPQ=8，

∴直线的方程为y-1=8（x-2），即8x-y-15=0．

联立双曲线方程，消去y，可得60x2-240x+229=0，

由判别式为2402-4×60×229＞0，

可得存在这样的直线，点A平分线段PQ．

题型：填空题

填空题

已知双曲线的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且，则点M到x轴的距离为______．

正确答案

解析

解：∵点M在双曲线上，∴|||-|||=2a=2，||=2c=2

又∵，∴△MF1F2为直角三角形，

∴=12，∴=4

设点M到x轴的距离为d，

∵，∴MF1⊥MF2，∴=|MF1|•|MF2|=|F1F2|•d

∴d==

故答案为

题型：填空题

填空题

若直线与双曲线的交点在实轴上射影恰好为双曲线的焦点，则双曲线的离心率是______．

正确答案

解析

解：把（c，0）代入双曲线，可得，

∴y=±，

∵直线与双曲线的交点在实轴上射影恰好为双曲线的焦点，

∴，

∴2e2-3e-2=0，

∵e＞1，∴e=2．

故答案为：2．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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