双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：单选题

单选题

设双曲线-=1，（a＞0，b＞0）的左焦点F（-c，0），则x2+y2=c2与双曲线的一条渐近线交于点A，直线AF交另一条渐近线与点B．若=，则双曲线的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：由题意，y=x与x2+y2=c2联立，可得A（a，b），

∴AF的斜率为，

∵=，

∴B为线段FA的中点，

∴OB⊥AF，

∴•（-）=-1，

∴e2-e-2=0，

∵e＞1，

∴e=2．

故选：A．

题型：填空题

填空题

（2014秋•潍坊校级月考）设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，PF1⊥PF2，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率是______．

正确答案

解析

解：由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a，

又|PF1|=3|PF2|，

得|PF2|=a，|PF1|=3a；

在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，

∴4c2=9a2+a2，即2c2=5a2，

则e==．

故答案为：．

题型：填空题

填空题

双曲线-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于______．

正确答案

解析

解：双曲线-y2=1的顶点坐标（2，0），其渐近线方程为y=±x，

所以所求的距离为=．

故答案为：．

题型：填空题

填空题

已知双曲线-=1，其右焦点为F，P其上一点，点M满足||=1，•=0，则的最小值为______．

正确答案

解析

解：∵||=1，∴点M是以点F（5，0）为圆心，1为半径的单位圆；

不妨设P为双曲线右支上的任一点，

∵•=0，∴⊥，

∴△PMF为直角三角形，且∠FMP=90°，||为该直角三角形的斜边长；

∵P为双曲线-=1上的点，

在Rt△FPM中，要使直角边||最小，由于||=1，

只需||最小，

∵当点P为双曲线C的右支与x轴的交点时，||最小，此时P（3，0）．

∴||==，如图所示；

∴的最小值为．

故答案为：．

题型：单选题

单选题

过双曲线（a＞0，b＞0）左焦点F1，倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点P，若线段PF1的中点在y轴上，则此双曲线的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：设F1（-c，0），P（x0，y0），

依题意，直线PF1的方程为：y=（x+c），设直线PF1与y轴的交点为M（0，m），

∵M为线段PF1的中点，

∴=0，m=．

∴x0=c，

∴y0=（x0+c）=c，m=c．

∵△MF1O为直角三角形，∠PF1O=30°，

∴|MF1|=2|OM|=2m=c；

又M为线段PF1的中点，O为F1F2的中点，

∴OM为直角三角形PF1F2的中位线，

∴|PF1|=c，|PF2|=c，

∴2a=|PF1|-|PF2|=c，

∴其离心率e==．

故选D．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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