双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：简答题

简答题

已知点（4，-4）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，过焦点F且斜率为k（k＞0）的直线交抛物线C于A、B两点，|AB|=8，线段AB的垂直平分线交x轴于点G．

（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；

（Ⅱ）若线段AB的中点为H，求△FGH的外接圆方程．

正确答案

解：（Ⅰ）由已知得，16=2p×4∴p=2

所以抛物线C的标准方程为y2=4x．

（Ⅱ）焦点F（1，0），设直线AB的方程为y=k（x-1），代入抛物线方程，可得k2x-（2k+24）x+k2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=．

∵|AB|=8，∴x1+x2+2=8，

∴+2=8，

∵k＞0，∴k=1．

∵线段AB的中点为H，

∴H（3，2），

∴直线HG的方程为y-2=-（x-3），令y=0得G（5，0），

△FGH的外接圆即为以FG为直径的圆，方程为（x-3）2+y2=4．

解析

解：（Ⅰ）由已知得，16=2p×4∴p=2

所以抛物线C的标准方程为y2=4x．

（Ⅱ）焦点F（1，0），设直线AB的方程为y=k（x-1），代入抛物线方程，可得k2x-（2k+24）x+k2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=．

∵|AB|=8，∴x1+x2+2=8，

∴+2=8，

∵k＞0，∴k=1．

∵线段AB的中点为H，

∴H（3，2），

∴直线HG的方程为y-2=-（x-3），令y=0得G（5，0），

△FGH的外接圆即为以FG为直径的圆，方程为（x-3）2+y2=4．

题型：单选题

单选题

已知双曲线C：-=1的焦点为F（-c，0），F′（c，0），c＞0，过F且平行于双曲线渐近线的直线与抛物线y2=4cx交于点P，若P在以FF′为直径的圆上，则该双曲线的离心率平方为（　　）

正确答案

解析

解：如图，设抛物线y2=4cx的准线为l，作PQ⊥l于Q，

双曲线的右焦点为F‘，由题意可知FF'为圆x2+y2=c2的直径，

∴设P（x，y），（x＞0），则PF'⊥PF，且tan∠PFF'=，

∴满足，

即有x2+4cx-c2=0，

则x=（-2）c，

即x=（-2）c，或x=（--2）c（舍去）

将x=（-2）c代入第三式，

得=，

即y=，再将y代入第一式得，=4c•（-2）c，

∴===e2-1，

即e2=1+=，

故选：D．

题型：单选题

单选题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F2（2，0），设A、B是双曲线上关于原点对称的两点，AF2、BF2的中点分别为M、N，已知以MN为直径的圆经过原点，且直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：根据题意，设A（x1，y1），则B（-x1，-y1），

∵AF2的中点为M，BF2的中点为N，

∴M（（x1+2），y1），N（（-x1+2），-y1）．

∵原点O在以线段MN为直径的圆上，

∴∠NOM=90°，可得=（4-x12）-y12=0．…①

又∵点A在双曲线上，且直线AB的斜率为，∴，…②．

由①②联解消去x1、y1，得-=，…③

又∵F2（2，0）是双曲线的右焦点，可得b2=c2-a2=4-a2，

∴代入③，化简整理得a4-8a2+7=0，解之得a2=1或7，

由于a2＜c2=4，所以a2=7不合题意，舍去．

故a2=1，得a=1，离心率e==2．

故选：C．

题型：填空题

填空题

双曲线-=1的顶点到渐近线的距离为______．

正确答案

解析

解：由已知得到双曲线的一个顶点为（2，0），一条渐近线方程为y=，即x-y=0，

所以顶点到渐近线的距离为；

故答案为：．

题型：简答题

简答题

已知双曲线的顶点在x轴上，两个顶点之间的距离为8，离心率

（1）求双曲线的标准方程；

（2）求双曲线的焦点到其渐近线的距离．

正确答案

解：（1）由题意：，

所以，

所以双曲线方程为：；

（2）双曲线的焦点坐标为（5，0），渐近线方程为y=x，即3x-4y=0，

所以双曲线的焦点到其渐近线的距离为=3．

解析

解：（1）由题意：，

所以，

所以双曲线方程为：；

（2）双曲线的焦点坐标为（5，0），渐近线方程为y=x，即3x-4y=0，

所以双曲线的焦点到其渐近线的距离为=3．

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