双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

· 双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：单选题

单选题

设F1、F2是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A是其右支上一点，连接AF1交双曲线的左支于点B，若|AB|=|AF2|，且∠BAF2=60°，则该双曲线的离心率为（　　）

C2-1

正确答案

解析

解：若|AB|=|AF2|，且∠BAF2=60°，

则△BAF2为等边三角形，

设AF2=t，则AB=BF2=t，

由双曲线的定义可得，

AF1-AF2=2a，BF2-BF1=2a，AF1=AB+BF1，

即有t+2a=2t-2a，

解得，t=4a，

AF1=6a，AF2=4a，F1F2=2c，

由余弦定理可得，

F1F22=AF12+AF22-2AF1•AF2cos60°，

即有4c2=36a2+16a2-2×6a×4a×，

即为4c2=28a2，

则有e==．

故选D．

题型：单选题

单选题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，且双曲线的一条渐近线被圆（x-3）2+y2=8截得的弦长为4，则此双曲线的渐近线方程为（　　）

Ay=±2x

By=±x

Cy=±x

Dy=±2x

正确答案

解析

解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0），

∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，

∴c=3，

∵双曲线的一条渐近线被圆（x-3）2+y2=8截得的弦长为4，

∴圆心到渐近线的距离为2，

设渐近线方程为bx+ay=0，则=2，

∴b=2，

∴a=，

∴双曲线的渐近线方程为y=±x．

故选：B．

题型：单选题

单选题

设F1、F2是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O 为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：∵=

∴，

得-=0，所以==c

∴△PF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，可得⊥

∵，

∴设，，（λ＞0）

得（3λ）2+（2λ）2=4c2，解得λ=c

∴c，c

由双曲线的定义，得2a=||=c

∴双曲线的离心率为e==

故选A

题型：简答题

简答题

已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若双曲线上存在一点P，使=，求双曲线的离心率的范围．

正确答案

解：根据已知，点P不是双曲线的顶点，否则=无意义．

因为在△PF1F2中，由正弦定理得=．

又由已知，得，即|PF1|=|PF2|，且P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得

|PF1|-|PF2|=2a，则|PF2|-|PF2|=2a，即|PF2|=，由双曲线的几何性质，知

|PF2|＞c-a，则＞c-a，即c2-2ac-a2＜0，∴e2-2e-1＜0，解得-＜e＜，

又e＞1，故双曲线的离心率的范围是（1，）．

解析

解：根据已知，点P不是双曲线的顶点，否则=无意义．

因为在△PF1F2中，由正弦定理得=．

又由已知，得，即|PF1|=|PF2|，且P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得

|PF1|-|PF2|=2a，则|PF2|-|PF2|=2a，即|PF2|=，由双曲线的几何性质，知

|PF2|＞c-a，则＞c-a，即c2-2ac-a2＜0，∴e2-2e-1＜0，解得-＜e＜，

又e＞1，故双曲线的离心率的范围是（1，）．

题型：单选题

单选题

已知F1，F2分别是双曲线-=1的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点．若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：根据双曲线的定义，可得|BF1|-|BF2|=2a，

∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|

∴|BF1|-|BF2|=2a，即|BF1|-|AB|=|AF1|=2a

又∵|AF2|-|AF1|=2a，

∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，

∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°

∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|•|AF2|cos120°

即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×（-）=28a2，解之得c=a，

由此可得双曲线C的离心率e==．

故选：B．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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