双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：单选题

单选题

已知双曲线的焦点为F1、F2，M为双曲线上一点，以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且，则双曲线的离心率（　　）

正确答案

解析

解：∵F1F2为圆的直径

∴△MF1F2为直角三角形

∴tan∠MF1F2==

设|MF1|=t，|MF2|=2t

根据双曲线的定义可知a==t

4c2=t2+4t2=5t2，

∴c=t

∴e==

故选D．

题型：简答题

简答题

（2015秋•合肥校级月考）双曲线C与椭圆+=1有相同焦点，且经过点（4，）．

（1）求双曲线的方程；

（2）若F1，F2是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积．

正确答案

解：（1）椭圆的焦点坐标为（-3，0），（3，0），

设双曲线的方程为-=1，

又因为双曲线过点（4，），则=1，

即有a4-40a2+144=0，

解得a2=4或a2=36（舍去）

所以双曲线的方程为=1；

（2）在△F1PF2中，由余弦定理得：

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|•cos60°=（|PF1|-|PF2|）2+|PF1|•|PF2|

又|F1F2|2=4c2=36，（|PF1|-|PF2|）2+|=4a2=16，

则|PF1|•|PF2|=20，

则=|PF1|•|PF2|•sin60°==5．

解析

解：（1）椭圆的焦点坐标为（-3，0），（3，0），

设双曲线的方程为-=1，

又因为双曲线过点（4，），则=1，

即有a4-40a2+144=0，

解得a2=4或a2=36（舍去）

所以双曲线的方程为=1；

（2）在△F1PF2中，由余弦定理得：

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|•cos60°=（|PF1|-|PF2|）2+|PF1|•|PF2|

又|F1F2|2=4c2=36，（|PF1|-|PF2|）2+|=4a2=16，

则|PF1|•|PF2|=20，

则=|PF1|•|PF2|•sin60°==5．

题型：单选题

单选题

已知双曲线，被方向向量=（6，6）的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值为（　　）

正确答案

解析

解：设l与双曲线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），

则有，两式相减，

得，

由直线方向向量=（6，6）得kAB=1，

截得的弦的中点为（4，1），得x1+x2=4，y1+y2=2，

∴，a2=4b2得双曲线的离心率=

故选A．

题型：填空题

填空题

若双曲线的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，2），则双曲线的焦距为______．

正确答案

解析

解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的左顶点（-a，0）与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的距离为4，

∴=4，

双曲线的一条渐近线的方程是y=-，而抛物线的准线方程为x=-，

∵双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，2），

∴2=，=2，

∴p=4，a=b=2，

∴c==2

∴2c=4，

故双曲线的焦距为4．

故答案为：4．

题型：单选题

单选题

双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（　　）

A（1，3]

B（1，3）

C（3，+∞）

D[3，+∞）

正确答案

解析

解：设P点的横坐标为x

∵|PF1|=2|PF2|，P在双曲线右支（x≥a）

根据双曲线的第二定义，可得2e（x-）=e（x+）

∴ex=3a

∵x≥a，∴ex≥ea

∴3a≥ea，∴e≤3

∵e＞1，∴1＜e≤3

故选A．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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