双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：简答题

简答题

（1）已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）和椭圆+=1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍，求双曲线的方程．

（2）已知点P（6，8）是椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若•=0．试求椭圆的方程．

正确答案

解：（1）由椭圆，得a′2=16，b′2=9，c′2=a′2-b′2=7，

∴a′=4，c′=，故椭圆离心率为e1=．

∵双曲线与椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍，

∴双曲线的两焦点为F1（-，0），F2（，0），离心率e2=，

∴a=2，b2=c2-a2=7-4=3．

故双曲线的方程为；

（2）∵，

∴-（c+6）（c-6）+64=0，即c=10，

∴F1（-10，0），F2（10，0），

则2a=|PF1|+|PF2|=，

∴a=6，b2=80．

故椭圆方程为．

解析

解：（1）由椭圆，得a′2=16，b′2=9，c′2=a′2-b′2=7，

∴a′=4，c′=，故椭圆离心率为e1=．

∵双曲线与椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍，

∴双曲线的两焦点为F1（-，0），F2（，0），离心率e2=，

∴a=2，b2=c2-a2=7-4=3．

故双曲线的方程为；

（2）∵，

∴-（c+6）（c-6）+64=0，即c=10，

∴F1（-10，0），F2（10，0），

则2a=|PF1|+|PF2|=，

∴a=6，b2=80．

故椭圆方程为．

题型：填空题

填空题

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为______．

正确答案

x2-=1

解析

解：∵双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，

∴=，

∵C的一个焦点到l的距离为1，

∴=1，

∴c=2，

∴a=1，b=，

∴C的方程为x2-=1．

故答案为：x2-=1．

题型：简答题

简答题

求与双曲线有公共渐近线，且焦距为8的双曲线的方程．

正确答案

解：设出所求的双曲线的方程为，

依题意可知求得a=，b=

∴双曲线的方程为：．

解析

解：设出所求的双曲线的方程为，

依题意可知求得a=，b=

∴双曲线的方程为：．

题型：填空题

填空题

F是双曲线Γ：x2-=1的右焦点，Γ的右支上一点P到一条渐近线的距离为2，在另一条渐近线上有一点Q满足=λ，则λ=______．

正确答案

解析

解：设P（m，n），m＞0，

则m2-=1，

双曲线的渐近线方程为y=±2x，

设P到直线y=2x的距离为2，

即有=2，

由于P在直线的下方，

则2m-n=2，

解得m=，n=-，

即P（，-），

设Q（s，-2s），由F（，0），

由于F，P，Q共线，可得

则kFP=kFQ，

即为=，

解得s=，

即有Q（，-），

=（-，-），=（-，-），

由于=λ，

则λ=4．

故答案为：4．

题型：单选题

单选题

双曲线：的渐近线方程和离心率分别是（　　）

正确答案

解析

解：双曲线：的a=1，b=2，c==

∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x；离心率e==

故选 D

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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