双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：单选题

单选题

已知双曲线的两个焦点为F1（-，0）、F2（，0），M是此双曲线上的一点，且满足•=0，||•||=2，则该双曲线的方程是（　　）

A-y2=1

Bx2-=1

C-=1

D-=1

正确答案

解析

解：∵•=0，∴⊥，∴MF1⊥MF2，

∴|MF1|2+|MF2|2=40，

∴（|MF1|-|MF2|）2=|MF1|2-2|MF1|•|MF2|+|MF2|2=40-2×2=36，

∴||MF1|-|MF2||=6=2a，a=3，

又c=，∴b2=c2-a2=1，

∴双曲线方程为-y2=1．

故选A．

题型：填空题

填空题

如图，F1，F2分别是双曲线C：-=1（a，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是______．

正确答案

解析

解：依题意F1（-c，0），B（0，b），

∴直线F1B的方程为：y-b=x，与双曲线C的渐近线方程联立得：b2x2-a2=0，

整理得：b2x2-2a2cx-a2c2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），

则x1，x2为上面方程的两根，由韦达定理得：x1+x2=，y1+y2=（x1+x2）+2b=，

∴PQ的中点N（，），又直线MN的斜率k=-（与直线F1B垂直），

∴直线MN的方程为：y-=-（x-），令y=0得M点的横坐标x=c+=．

∵|MF2|=|F1F2|，

∴-c=2c．

∴c2=3b2=3（c2-a2），

∴c2=a2，

∴e==．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

求与双曲线=1共渐近线且过A（3，-3）的双曲线的方程．

正确答案

解　设与双曲线=1共渐近线的双曲线的方程为，

因为双曲线过A（3，-3），

所以=λ，解得λ=，

所求双曲线的方程为．

解析

解　设与双曲线=1共渐近线的双曲线的方程为，

因为双曲线过A（3，-3），

所以=λ，解得λ=，

所求双曲线的方程为．

题型：简答题

简答题

已知双曲线方程是9x2-y2=-81．求它的实轴和虚轴的长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．

正确答案

解：∵双曲线方程是9x2-y2=-81，

∴双曲线标准方程为：，

实轴长：18，虚轴长为6，

a=9，b=3，c=3，

焦点坐标（0，±3），离心率：e=，渐近线方程为：y=±3x．

解析

解：∵双曲线方程是9x2-y2=-81，

∴双曲线标准方程为：，

实轴长：18，虚轴长为6，

a=9，b=3，c=3，

焦点坐标（0，±3），离心率：e=，渐近线方程为：y=±3x．

题型：填空题

填空题

（2015秋•湖北校级期末）双曲线2x2-y2=m的一个焦点是（0，），则m的值是______．

正确答案

-2

解析

解：双曲线2x2-y2=m，即，

由题意知m＜0，它的焦点为（0，±），

∴=，

∴m=-2，

故答案为：-2．

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