双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：单选题

单选题

（2016•成都模拟）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若E上存在点P使△F1F2P为等腰三角形，且其顶角为，则的值是（　　）

正确答案

解析

解：由题意，可得∠PF2x=60°，|PF2|=2c，

∴P（2c，c），

代入双曲线的方程可得-=1，

∴4b4-3a4=0，

∴=．

故选：B．

题型：单选题

单选题

双曲线kx2-y2=1的一个焦点是，那么它的实轴长是（　　）

正确答案

解析

解：由题设条件知，

∴k=1，

∴实轴．

故选B．

题型：填空题

填空题

已知点P在双曲线x2-y2=a2（a＞0）的右支上，A1，A2分别是双曲线的左、右顶点，且∠A2PA1=2∠PA1A2，则∠PA1A2=______．

正确答案

解析

解：设∠PA1A2=α，则∠PA2X=3α．设P（x，y），A1（-a，0），A2（a，0）．

PA1的斜率 k1=tanα=，PA2的斜率 k2=tan3α=

∵k1k2=，∴tanαtan3α=1，∴tan3α=cotα=tan（-α）．

∵‍3α是锐角，必有 3α=-α，∴‍α=．

故答案为．

题型：填空题

填空题

已知离心率为的双曲线-y2=1的两个焦点为F1，F2，点P在此双曲线上，且•=0，则点P到x轴的距离等于______．

正确答案

解析

解：设点P（x，y），

离心率为的双曲线-y2=1，可得a=2，F1（-，0）、F2（，0），

∵•=0，

∴PF1⊥PF2

∴，

∴x2+y2=5，

代入双曲线方程-y2=1，

∴-y2=1，

∴|y|=，

∴P到x轴的距离是．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

如图，在双曲线-=1的上支上有三点A（x1，y1），B（x2，6），C（x3，y3），它们与点F（0，5）的距离成等差数列．

（1）求y1+y3的值；

（2）证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标．

正确答案

（1）解：c==5，故F为双曲线的焦点，设F对应准线为l，则l的方程 y=，离心率为e==，

由题设有2|FB|=|FA|+|FC|．①分别过A、B、C作x轴的垂线AA2、BB2、CC2，交l于A1、B1、C1，

则由双曲线第二定义有|FB|=e|BB1|，|FA|=e|AA1|，|FC|=e|CC1|，代入①式，得 2e|BB1|=e|AA1|+e|CC1|，

即2|BB1|=|AA1|+|CC1|．∴2（6-）=+，∴y1+y3=12．

（2）证明：线段AC中点D（，6），线段AC的斜率为，

∴线段AC的中垂线的斜率为-，∴线段AC的中垂线的方程为 y-6=-（x-） ①，

又A、C在双曲线上，∴，，相减得，

∴x12-x32=13（y1-y3），代入①得线段AC的中垂线的方程为 y=-x+，

显然过定点（0，）．

解析

（1）解：c==5，故F为双曲线的焦点，设F对应准线为l，则l的方程 y=，离心率为e==，

由题设有2|FB|=|FA|+|FC|．①分别过A、B、C作x轴的垂线AA2、BB2、CC2，交l于A1、B1、C1，

则由双曲线第二定义有|FB|=e|BB1|，|FA|=e|AA1|，|FC|=e|CC1|，代入①式，得 2e|BB1|=e|AA1|+e|CC1|，

即2|BB1|=|AA1|+|CC1|．∴2（6-）=+，∴y1+y3=12．

（2）证明：线段AC中点D（，6），线段AC的斜率为，

∴线段AC的中垂线的斜率为-，∴线段AC的中垂线的方程为 y-6=-（x-） ①，

又A、C在双曲线上，∴，，相减得，

∴x12-x32=13（y1-y3），代入①得线段AC的中垂线的方程为 y=-x+，

显然过定点（0，）．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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