双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：单选题

单选题

已知双曲线=1（b＞a＞0）的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：∵b＞a＞0，∴＞1．

∵双曲线=1（b＞a＞0）的两条渐近线的夹角为60°，

∴=．

∴e==2．

故选：B．

题型：简答题

简答题

已知双曲线C的方程为（a＞0，b＞0），离心率e=，顶点到渐近线的距离为．求双曲线C的方程．

正确答案

解：∵双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率e==，

∴e2==，

∴a2=4b2；①

设顶点P（0，a）到渐近线ax-by=0的距离为d

则d==，

∴=，②

由①②联立得：a2=4，b2=1．

∴双曲线C的方程为：-x2=1．

解析

解：∵双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率e==，

∴e2==，

∴a2=4b2；①

设顶点P（0，a）到渐近线ax-by=0的距离为d

则d==，

∴=，②

由①②联立得：a2=4，b2=1．

∴双曲线C的方程为：-x2=1．

题型：单选题

单选题

过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作倾斜角为60°的直线与双曲线相交于A、B两点，若=4，则双曲线的离心率为（　　）

D以上均不对

正确答案

解析

解：根据题意，A在双曲线的右支上，B在左支上，

设A（x1，y1），B（x2，y2），左焦点F（-c，0），如图所示

∵=4，

∴x1-（-c）=4[x2-（-c）]，

∴x1=4x2+3c①；

又∵直线过焦点F，倾斜角为60°，

∴y=（x+c），

直线方程与双曲线方程-=1联立，消去y得；

b2x2-3a2（x+c）2=a2b2，

即（b2-3a2）x2-6a2cx-（3a2c2+a2b2）=0，

∴x1+x2=②；

由①②得，

x2=-===，

又||-||=3||=2a，∴||=a；

∴e====

化简得9e4-109e2+100=0，

解得e2=或e2=1（不合题意，舍去）；

∴e=．

故选：B．

题型：填空题

填空题

双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为______，渐近线方程为______．

正确答案

解析

解：由题意得 2a=4，=3，∴a=2，c=6，b===4，

双曲线的焦点在x轴上，故该双曲线的标准方程为，渐近线方程为 y=，

故答案为：，y=．

题型：单选题

单选题

已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线=1，（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，若l为双曲线的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是（　　）

正确答案

解析

解：抛物线的焦点坐标为（，0）；双曲线的焦点坐标为（c，0）

所以p=2c

∵点A 是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，

将x=c代入双曲线方程得到

A（c，）

将A的坐标代入抛物线方程得到

=2pc

4a4+4a2b2-b4=0

解得

∵双曲线的渐近线的方程为y=±x

设倾斜角为α则tanα=

∴α＞

故选D

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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