双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：填空题

填空题

双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=-x，离心率为e，则的最小值为______．

正确答案

解析

解：由题意，=，

∴===+=+a，

∵a＞0，b＞0，

∴+a≥2=，当且仅当=a，即a=2，b=2时，等号成立．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

已知双曲线的右定点为A，右焦点为F，右准线与x轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，又，•=2，过点F的直线与双曲线右交于点M、N，点P为点M关于x轴的对称点．

（1）求双曲线的方程；

（2）证明：B、P、N三点共线；

（3）求△BMN面积的最小值．

正确答案

解：（I）由题意得A（a，0），B（，又⇒…①

由⇒⇒=2，②

联立①、②，得a=2，c=4

∴双曲线的方程为．

（II）由（I），得点B（1，0），F（4，0），设直线l的方程为x=ty+4

由⇒（3t2-1）y2+24ty+36=0

∴

∵（x1-1）y2-（x2-1）（-y1）=x1y2+x2y1-（y1+y2）

=（ty1+4）y2+（ty2+4）y1=（ty1+4）y2+（ty2+4）y1

∴向量与共线，∴B、P、N三点共线．

（III）∵直线l与双曲线右支相交于M、N两点

∴x1x2=（ty2+4）（ty2+4）=t2y1y2+4t（y1+y2）+16

=⇒⇒

∴

令u=1-3t2，u∈（0，1]

∴=

由u∈（0，1]⇒

∴，即t=0时，△BMN面积最小值为18．

解析

解：（I）由题意得A（a，0），B（，又⇒…①

由⇒⇒=2，②

联立①、②，得a=2，c=4

∴双曲线的方程为．

（II）由（I），得点B（1，0），F（4，0），设直线l的方程为x=ty+4

由⇒（3t2-1）y2+24ty+36=0

∴

∵（x1-1）y2-（x2-1）（-y1）=x1y2+x2y1-（y1+y2）

=（ty1+4）y2+（ty2+4）y1=（ty1+4）y2+（ty2+4）y1

∴向量与共线，∴B、P、N三点共线．

（III）∵直线l与双曲线右支相交于M、N两点

∴x1x2=（ty2+4）（ty2+4）=t2y1y2+4t（y1+y2）+16

=⇒⇒

∴

令u=1-3t2，u∈（0，1]

∴=

由u∈（0，1]⇒

∴，即t=0时，△BMN面积最小值为18．

题型：填空题

填空题

已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2=60°，．该双曲线的标准方程为______．

正确答案

解析

解：不妨设点P在双曲线的右支上，

设双曲线的方程为，|PF1|=m，|PF2|=n则有

m-n=2a①

∠F1PF2=60°由余弦定理得

m2+n2-2mncos60°=4c2②

∵S△PF1F2=12

∴mnsin60°=12 ③

∵离心率为2

∴=2④

解①②③④a=2，c=4

∴b2=c2-a2=12

双曲线的方程为．

故答案为：．

题型：填空题

填空题

与椭圆共焦点的等轴双曲线的方程为______．

正确答案

x2-y2=1

解析

解：对于知半焦距为

所以双曲线的焦点为（）

设等轴双曲线的方程为

据双曲线的三参数的关系得到2a2=2

所以a2=1

所以双曲线的方程为x2-y2=1．

故答案为：x2-y2=1

题型：单选题

单选题

已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为F1F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是（　　）

A（0，）

正确答案

解析

解：设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2．

由题意知r1=10，r2=2c，且r1＞r2，2r2＞r1，

∴2c＜10，2c+2c＞10，

⇒＜c＜5．⇒，

∴=；

=．

∴，

故选C．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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