如图1,在等腰直角三角形中,
,
,
分别是
上的点,
,
为
的中点.将
沿
折起,得到如图2所示的四棱锥
,其中
.
(1) 证明:平面
;
(2) 求二面角的平面角的余弦值.
正确答案
见解析
解析
(1)在图1中,易得
连结,在
中,由余弦定理可得
由翻折不变性可知,
所以,所以
,
理可证, 又
,所以
平面
.
(2) 传统法:过作
交
的延长线于
,连结
,
因为平面
,所以
,
所以为二面角
的平面角.
结合图1可知,为
中点,故
,从而
所以
,所以二面角
的平面角的余弦值为
.
向量法:
以点为原点,建立空间直角坐标系
如图所示,
则,
,
所以,
设为平面
的法向量,则
,即
,解得
,令
,得
由(1) 知,为平面
的一个法向量,
所以,即二面角
的平面角的余弦值为
.
知识点
在△中,
。
(1)求角的值;
(2)如果,求△
面积的最大值。
正确答案
(1)
(2)△面积最大值为
解析
(1)因为,
,
所以,
。
因为,所以
, …………………6分
(2)因为,所以
。
因为,所以
,所以
(当且仅当
时,等号成立)。
所以。
所以△面积最大值为
,……………13分
知识点
如图,在中,
,
,
,点
是
的中点, 求:
(1)边的长;
(2)的值和中线
的长。
正确答案
见解析。
解析
解:由可知,
是锐角,
所以,
由正弦定理
(2)
由余弦定理:
知识点
已知点和点
,以
为直径的圆经过坐标原点
。
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)过点的直线
交轨迹
于
,
两点,判断
的形状,并证明你的结论。
正确答案
见解析
解析
(1)依题意得,
,
------------------2分
所以,轨迹
的方程为
。 ------------------4分
(2)△是直角三角形 ------------------1分
证明:
(a)当直线轴时,
,
代入得
,
,所以
,
;
------------------3分
(b)当直线轴不垂直时,直线
交轨迹
于
,
两点,设直线方程为
,由
整理得
, -----------------4分
设,
,则
,
, -----------------6分
,
-----------------8分
,
综上,△是直角三角形 ------------------9分
知识点
已知等差数列的前
项和为
,且
,
,则该数列的公差
( )
正确答案
解析
略
知识点
已知的内角
的对边分别为
,
且,则
的面积等
于________.
正确答案
解析
略
知识点
已知函数,定义函数
给出下列命题:
①; ②函数
是奇函数;③当
时,若
,
,总有
成立,其中所有正确命题的序号是 .
正确答案
②、③
解析
略
知识点
设函数,
。
(1)若,求
的最大值及相应的
的取值集合;
(2)若是
的一个零点,且
,求
的值和
的最小正周期.
正确答案
见解析。
解析
(1)
当时,
,
而,所以
的最大值为
,
此时,
,即
,
,
∴取最大值
时相应的
的集合为
(2)依题意,即
,
,
整理,得,
又,所以
,
,
而,所以
,
,所以
,
的最小正周期为
.
知识点
如图,已知中,
,
,
,则
_____________.
正确答案
解析
略
知识点
17.已知梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=∠BAD=
,AB=BC=2AD=4,E、F分别是AB、CD上的点,EF∥BC,AE--x,G是BC的中点.沿EF将梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF(如图),
(1)当x=2时,求证:BD⊥EG;
(2)若以F、B、c、D为顶点的三棱锥的体积记为(x),当f(x)取得最大值时,求二面角D—BF—C的余弦值.
正确答案
解析
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知识点
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