不等式恒成立问题
共92题

· 不等式恒成立问题

不等式恒成立问题
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题型：填空题

填空题 · 5 分

如图(4)，AB是半圆的直径，C是AB

延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，

且E是OB的中点，则BC的长为。

正确答案

解析

知识点

不等式恒成立问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域D内的弧长为_____________；该弧上的点到直线的距离的最大值等于__________ .

正确答案

;

解析

略

知识点

不等式恒成立问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

设函数是定义域为的奇函数。

（1）求的值；

（2）若，试说明函数的单调性，并求使不等式恒成立的的取值范围。

正确答案

（1）2（2）

解析

解析：（1）由题意，对任意，，即，

………………2分

即，，

因为为任意实数，所以， ………………4分

解法二：因为是定义域为的奇函数，所以，即，。

当时，，，是奇函数。

所以的值为， ………………4分

（2）由（1）知，由，得，解得。

………………6分

当时，是减函数，也是减函数，所以是减函数。

………………7分

由，所以，………………8分

因为是奇函数，所以。 ………………9分

因为是上的减函数，所以即对任意成立， ………………11分

所以△， ………………12分

解得。 ………………13分

所以，的取值范围是。 ………………14分

知识点

函数单调性的性质函数奇偶性的性质不等式恒成立问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知实数满足约束条件，则不等式所围成的区域面积为 .

正确答案

解析

略

知识点

不等式恒成立问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

设函数,

（1）若且对任意实数均有恒成立，求表达式；

（2）在（1）在条件下，当时，是单调函数，求实数的取值范围；

（3）设且为偶函数，证明.

正确答案

见解析。

解析

（1）∵，∴,

由于恒成立，即恒成立，

当时，，此时，与恒成立矛盾。

当时，由，

得，

从而，∴

（2）由（1）知

∴，其对称为

由在上是单调函数知：

或，解得或

（3）∵是偶函数，∴由得，

故，

∵,∴在上是增函数，

对于，当时，，

当时，，

∴是奇函数，且在上为增函数.

∵，∴异号，

(1)当时，由得，∴

（2）当时，由得，∴

即

综上可知

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