不等式恒成立问题
共92题

· 不等式恒成立问题

不等式恒成立问题
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题型：简答题

简答题 · 10 分

已知函数。

（1）当时，求函数的定义域；

（2）若关于的不等式的解集是，求的取值范围。

正确答案

（1）（2）

解析

（1）由题设知：，

不等式的解集是以下不等式组解集的并集：

，或，或

解得函数的定义域为；…………………………。5分

（2）不等式即，

时，恒有，

不等式解集是R，

的取值范围是………………………………………………10分

知识点

对数函数的定义域不等式恒成立问题绝对值不等式的解法

题型：简答题

简答题 · 10 分

设函数

（1）求函数的最小值;

（2）若恒成立，求实数的取值范围.

正确答案

见解析

解析

（1）由题意得

所以 f（x）在上单调递减，在上单调递增。

所以当时取得最小值

此时

（2）的图像恒过点过

由图象可知.

知识点

函数的最值不等式恒成立问题绝对值三角不等式

题型：简答题

简答题 · 10 分

设函数

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若对恒成立，求的取值范围.

正确答案

见解析

解析

（1）等价于

或或，

解得：或。

故不等式的解集为或，

（2）因为: （当时等号成立）

所以.

由题意得：，解得或。

知识点

不等式恒成立问题绝对值不等式的解法

题型：简答题

简答题 · 13 分

数列的前项和为，且，数列为等差数列，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1）因为···1

所以时，···2

1、2得

又因为，所以，所以

，所以，所以

（2）

所以对恒成立，即对恒成立

令，

当时，；当时，，所以

所以

知识点

由an与Sn的关系求通项an数列与不等式的综合不等式恒成立问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，点A(2,)在椭圆上，且AF2与x轴垂直。

（1）求椭圆的方程；

（2）过A作直线与椭圆交于另外一点B，求ΔAOB面积的最大值。

正确答案

见解析

解析

解：（1）有已知：c = 2，，∴，

故椭圆方程为

（2）当AB斜率不存在时：

当AB斜率存在时：设其方程为：

由，得

由已知：

即：

O到直线AB的距离：

∴

∵，∴，∴，∴

此时

综上所求：当AB斜率不存在或斜率为零时，ΔAOB面积取最大值为

知识点

不等式恒成立问题

题型：简答题

简答题 · 10 分

已知(a是常数，a∈R)

（1）当a=1时求不等式的解集。

（2）如果函数恰有两个不同的零点，求a的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）

∴的解为，

（2）由得,，

令,,作出它们的图象，可以知道，当时，

这两个函数的图象有两个不同的交点，

所以，函数有两个不同的零点。

知识点

不等式恒成立问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

设f（x）=﹣cosx﹣sinx，f′（x）是其导函数，若命题“∀x∈[，π]，f′（x）＜a”是真命题，则实数a的取值范围是　_________　。

正确答案

解析

，，最大值为

知识点

不等式恒成立问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）.

正确答案

解析

由三视图可知该几何体是底面为直角梯形（梯形上底为1，下底为2，直角腰为

1），高为1的直棱柱，故其表面积为

. 选B.

知识点

不等式恒成立问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

如图所示，三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，面ABC1上面AAlClC,∠AAlCl=∠BAC1=600，AC1与A1C相交于0，E为BC的中点。

（1）求证.OE∥面AAl BlB；

（2）求证：B0⊥面AA1C1C;

（3）求三棱锥C—AEC1的体积。

正确答案

见解析。

解析

（1）证明：连在中，E,O分别为BC和CA1的中点，

∴

（2）由条件知，四边形ACC1A1为菱形

∠AA1C1=60°，∴A1C=2 ，ΔABC1中，AB=2，，∴BC1=2，又的中点

∴BO⊥AC1 ，又平面,

∴

（3）∵，取OC的中点F，连接EF，则EF为三棱锥E-ACC1的高，EF=OB=，∴

知识点

不等式恒成立问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

若两个正实数满足，并且恒成立，则实数的取值范围是

C(-2,4)

D(-4,2)

正确答案

解析

，当且仅当，即时等号成立. 由恒成立，则，，解得，故选D.

知识点

不等式恒成立问题基本不等式的实际应用

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