不等式恒成立问题
共92题

· 不等式恒成立问题

不等式恒成立问题
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题型：简答题

简答题 · 16 分

22．已知函数．

（1）设，求的取值范围；

（2）关于的方程，，存在这样的值，使得对每一个确定的，方程都有唯一解，求所有满足条件的．

（3）证明：当时，存在正数，使得不等式成立的最小正数，并求此时的最小正数．

正确答案

（1）函数定义域，

，，，即的取值范围是

（2），由（Ⅰ），，

在单调递增，所以．设，则，

即，即．故，存在，使得对每一个

，方程都有唯一解．

（3）

．以下证明，对的数及数，不等式不成立．反之，由，亦即成立，因为，，但，这是不可能的．这说明是满足条件的最小正数．这样，不等式恒成立，即恒成立，∴ ，最小正数=4

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知识点

函数的值域及其求法函数的最值不等式恒成立问题

题型：填空题

填空题 · 4 分

14．已知均为实数，表示不超过实数的最大整数，若对任意实数恒成立，且（），则实数的最大值为（）．

正确答案

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知识点

不等式恒成立问题

题型：填空题

填空题 · 4 分

15．给出下列四个命题中：

①命题“”的否定是“”；

②“”是“直线与直线相互垂直”的必要不充分条件；

③设圆与坐标轴有4个交点，分别为，则；

④对，不等式恒成立，则

其中所有真命题的序号是（）

正确答案

①③④

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知识点

充要条件的判定命题的否定命题的真假判断与应用不等式恒成立问题直线与圆相交的性质

题型：简答题

简答题 · 15 分

21．已知函数

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若在区间[1，2]上恒成立，求实数的取值范围。

正确答案

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知识点

对数函数的单调性与特殊点不等式恒成立问题其它不等式的解法

题型：简答题

简答题 · 15 分

21．已知函数.

（1）若，求实数x的取值范围；

（2）若在区间[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围.

正确答案

（1）①

②

（2）当

根据条件，a应小于的最小值是，

当时，

根据条件，a应小于的最小值4；

同时a应大于的最大值4，即，不成立。

综上，a的取值范围是

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对数的运算性质对数函数的单调性与特殊点不等式恒成立问题其它不等式的解法

题型：填空题

填空题 · 5 分

15．给出以下结论：

①甲从四面体中任意选择一条棱，乙也从该四面体中任意选择一条棱，则所得的两条棱所在的直线是异面直线的概率是

②关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是

③若关于x的方程上没有实数根，则k的取值范围是；

④函数有一个零点。

其中正确的结论是___________（填上所有正确结论的序号）

正确答案

①④

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知识点

命题的真假判断与应用函数零点的判断和求解不等式恒成立问题古典概型的概率

题型：简答题

简答题 · 12 分

21．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％．

（1）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率（将频率视为概率）

正确答案

（1）由已知得，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为:

（分钟）．

（2）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率，得

．

是互斥事件，

。

故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为。

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不等式恒成立问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

12.若关于的不等式对任意的正实数恒成立，则实数的取值集合是（）

正确答案

{5}

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不等式恒成立问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

14.已知等比数列的前项和为，公比，若且，则______

正确答案

-21

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不等式恒成立问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

16．袋中有大小．性状相同的红．黑球各一个，现在放回地随机摸3次，每次摸取一个球，并根据摸出球的颜色记录的分，设摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分。

（Ⅰ）试写出摸出球的颜色所有可能的情况（有顺序）

（Ⅱ）求3次摸球所得总分不小于5分的概率。

正确答案

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