- 不等式恒成立问题
- 共92题
22.已知函数.
(1)设,求
的取值范围;
(2)关于的方程
,
,存在这样的
值,使得对每一个确定的
,方程都有唯一解,求所有满足条件的
.
(3)证明:当时,存在正数
,使得不等式
成立的最小正数
,并求此时的最小正数
.
正确答案
(1)函数定义域,
,
,
,即
的取值范围是
(2),由(Ⅰ)
,
,
在
单调递增,所以
.设
,则
,
即,即
.故,存在
,使得对每一个
,方程都有唯一解
.
(3)
.以下证明,对
的数
及数
,不等式
不成立.反之,由
,亦即
成立,因为
,
,但
,这是不可能的.这说明
是满足条件的最小正数.这样,不等式
恒成立,即
恒成立,∴
,最小正数
=4
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知识点
14.已知均为实数,
表示不超过实数
的最大整数,若
对任意实数
恒成立,且
(
),则实数
的最大值为( ) .
正确答案
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知识点
15.给出下列四个命题中:
①命题“”的否定是“
”;
②“”是“直线
与直线
相互垂直”的必要不充分条件;
③设圆与坐标轴有4个交点,分别为
,则
;
④对,不等式
恒成立, 则
其中所有真命题的序号是 ( )
正确答案
①③④
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知识点
21.已知函数
(1)若,求实数
的取值范围;
(2)若在区间[1,2]上恒成立,求实数
的取值范围。
正确答案
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知识点
21.已知函数.
(1)若,求实数x的取值范围;
(2)若在区间[1,2]上恒成立,求实数a的取值范围.
正确答案
(1)①
②
(2)当
根据条件,a应小于
的最小值是
,
当
时,
根据条件,a应小于的最小值4;
同时a应大于的最大值4,即
,不成立。
综上,a的取值范围是
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知识点
15.给出以下结论:
①甲从四面体中任意选择一条棱,乙也从该四面体中任意选择一条棱,则所得的两条棱所在的直线是异面直线的概率是
②关于x的不等式恒成立,则a的取值范围是
③若关于x的方程上没有实数根,则k的取值范围是
;
④函数有一个零点。
其中正确的结论是___________(填上所有正确结论的序号)
正确答案
①④
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知识点
21.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)
正确答案
(1)由已知得,该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为:
(分钟).
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”, “该顾客一次购物的结算时间为
分钟”, “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率,得
.
是互斥事件,
。
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为。
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知识点
12.若关于的不等式
对任意的正实数
恒成立,则实数
的取值集合是( )
正确答案
{5}
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知识点
14.已知等比数列的前
项和为
,公比
,若
且
,则
______
正确答案
-21
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知识点
16.袋中有大小.性状相同的红.黑球各一个,现在放回地随机摸3次,每次摸取一个球,并根据摸出球的颜色记录的分,设摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分。
(Ⅰ)试写出摸出球的颜色所有可能的情况(有顺序)
(Ⅱ)求3次摸球所得总分不小于5分的概率。
正确答案
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知识点
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