不等式恒成立问题
共92题

· 不等式恒成立问题

不等式恒成立问题
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题型：简答题

简答题 · 16 分

22．已知函数．

（1）设，求的取值范围；

（2）关于的方程，，存在这样的值，使得对每一个确定的，方程都有唯一解，求所有满足条件的．

（3）证明：当时，存在正数，使得不等式成立的最小正数，并求此时的最小正数．

正确答案

（1）函数定义域，

，，，即的取值范围是

（2），由（Ⅰ），，

在单调递增，所以．设，则，

即，即．故，存在，使得对每一个

，方程都有唯一解．

（3）

．以下证明，对的数及数，不等式不成立．反之，由，亦即成立，因为，，但，这是不可能的．这说明是满足条件的最小正数．这样，不等式恒成立，即恒成立，∴ ，最小正数=4

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知识点

函数的值域及其求法函数的最值不等式恒成立问题

题型：填空题

填空题 · 4 分

14．已知均为实数，表示不超过实数的最大整数，若对任意实数恒成立，且（），则实数的最大值为（）．

正确答案

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知识点

不等式恒成立问题

题型：填空题

填空题 · 4 分

15．给出下列四个命题中：

①命题“”的否定是“”；

②“”是“直线与直线相互垂直”的必要不充分条件；

③设圆与坐标轴有4个交点，分别为，则；

④对，不等式恒成立，则

其中所有真命题的序号是（）

正确答案

①③④

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知识点

充要条件的判定命题的否定命题的真假判断与应用不等式恒成立问题直线与圆相交的性质

题型：简答题

简答题 · 15 分

21．已知函数

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若在区间[1，2]上恒成立，求实数的取值范围。

正确答案

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知识点

对数函数的单调性与特殊点不等式恒成立问题其它不等式的解法

题型：简答题

简答题 · 15 分

21．已知函数.

（1）若，求实数x的取值范围；

（2）若在区间[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围.

正确答案

（1）①

②

（2）当

根据条件，a应小于的最小值是，

当时，

根据条件，a应小于的最小值4；

同时a应大于的最大值4，即，不成立。

综上，a的取值范围是

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知识点

对数的运算性质对数函数的单调性与特殊点不等式恒成立问题其它不等式的解法

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