用坐标表示向量的数量积
共636题

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题型：简答题

简答题

已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且

，。

（1）求动点N的轨迹方程；

（2）直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若，，求直线l的斜率k的取值范围。

正确答案

解：（1）设动点N的坐标为（x，y），

由得，

则由，得，

因此，动点N的轨迹方程为。

（2）设L与抛物线交于点，

当L与x轴垂直时，

由，得不合题意，

故L与x轴不垂直；

可设直线L的方程为y=kx+b(k≠0)，，得x1x2+y1y2=-4，

由点A，B在抛物线（x＞0）上，有，

又，y=kx+b，得ky2-4y+4b=0，

，

因为，所以，

解得，直线L的斜率的取值范围是。

题型：简答题

简答题

已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1。

（I）求曲线C的方程；

（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。

正确答案

解：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足

化简为y2=4x（x>0）；

（Ⅱ）设过点M（m，0）（m>0）的直线l与曲线C的交点为 A（x1，y1），B（x2，y2）

设l的方程为

由

得

，于是 ①

又

②

又，于是不等式②等价于

③

由①式，不等式③等价于m2-6m+1<4t2， ④

对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于

即

由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有，且m的取值范围是。

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于、两点。

（1）求证：命题过点（3，0），那么＝3；

（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。

正确答案

证明：设直线的方程为=－3

与=2联立得到y2-2my-6=0

·=12+12=(my1+3) (my2+3)+12=(m2+1)12+3m(1+2)+9

=(m2+1)×(-6)+3m×2m+9

＝3

（2）逆命题是：“设直线l 交抛物线y2=2x于A、B两点,如果,那么该直线过点T(3,0).”

该命题是假命题.

例如：取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时,

直线AB的方程为= (+1),

而T(3,0)不在直线AB上.

题型：简答题

简答题

已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使成等差小于零的等差数列，

（1）点P的轨迹是什么曲线？

（2）若点P坐标为（x0，y0），记θ为与的夹角，求tanθ。

正确答案

解：（1）记P（x，y），由M（-1，0），N（1，0）得

，

∴，

于是，是等差小于零的等差数列等价于

，即，

所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆。

（2）点P的坐标为，

，

∴，

，

∴，

。

题型：简答题

简答题

在直角坐标平面xOy上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（n，an），…，简记为{An}。若由 bn=构成的数列{bn}满足bn+1＞bn，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{An}为T点列。

（1）判断A1（1，1），A2（2，），A3（3，），…，An（n，），…，是否为T点列，并说明理由；

（2）若{An}为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点Ak、Ak+1、Ak+2，判断△AkAk+1Ak+2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；

（3）若{An}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p，求证：。

正确答案

解：（1）

∴

显然有

∴是T点列；

（2）在△中

∵点A2在点A1的右上方

∵为T点列

∴

则

∴

∴△为钝角三角形；

（3）

∴ ①

②

同理 ③

由于为T点列，于是 ④

由①、②、③、④可推得

∴

即。

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