- 统计案例
- 共31题
A
B
C
D
正确答案
解析
解：过点D作DG∥AC，交BE于H，交CF于G，则AB=DH，AC=DG
∵BE∥CF，
∴
∴
故选D．
下列命题中正确的命题个数为（ ）
①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意直线平行；
②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与这个平面内无数条直线垂直；
③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；
④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．
正确答案
解析
解：如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的无数条直线平行，而不是任意的直线平行，故①不正确．
如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与这个平面内与它的射影垂直的无数条直线垂直，故②正确．
过平面外一点有无数条直线与平面平行，故③不正确．
一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面或与这个平面相交，故④不正确，
综上可知有1个命题正确，
故选B．
正确答案
解析
根据三角形中位线定理，得
EF=HG=
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD．
∴EF=FG=GH=HE=6．
∴需篱笆总长度是EF+HG+EH+GF=2BD=2×12=24（米）．
故选B．
正确答案
5
解析
解：依题意：互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上．
∵所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等．
∴利用所有的三角形都相似，面积比等于相似比的平方，
若a1=1，a2=2，则令
∴
∴当n≥2时，
故
利用以累乘可得：
由于a1=1，
∴an=
∴a9=5．
故答案为：5．
正确答案
故∠APO=∠ABO1，从而O1B∥OP
故
又由切割线定理，知PC2=PB•PA=（PA-AB）•PA=PA2-PA•AB，两端同除以PA2，
得
即（
故
从而⊙O1和⊙O的半径的比值为
答：⊙O1和⊙O的半径的比值为
解析
故∠APO=∠ABO1，从而O1B∥OP
故
又由切割线定理，知PC2=PB•PA=（PA-AB）•PA=PA2-PA•AB，两端同除以PA2，
得
即（
故
从而⊙O1和⊙O的半径的比值为
答：⊙O1和⊙O的半径的比值为
正确答案
证明：连MB，
∵△AEF的面积=△AEM的面积+△MEF的面积
=△AEM的面积+△MEB的面积
=△ABM的面积=
∴△AEF的面积等于△ABC的面积的一半．
解析
证明：连MB，
∵△AEF的面积=△AEM的面积+△MEF的面积
=△AEM的面积+△MEB的面积
=△ABM的面积=
∴△AEF的面积等于△ABC的面积的一半．
（1）求证：AB⊥PQ；
（2）在底边AC上有一点M，满足AM；MC=3：4，求证：BM∥平面APQ．
（3）求直线BC与平面APQ所成角的正弦值．
正确答案
所以AC=5，从而AC2=AB2+BC2，
即AB⊥BC．（2分）
又因为AB⊥BB1，而BC∩BB1=B，
所以AB⊥平面BC1，又PQ⊂平面BC1
所以AB⊥PQ；（4分）
（2）解：过M作MN∥CQ交AQ于N，连接PN，
因为AM：MC=3：4∴AM：AC=MN：CQ=3：7（6分）
∴MN=PB=3，∵PB∥CQ∴MN∥PB，∴四边形PBMN为平行四边形∴BM∥PN，所以BM∥平面APQ（8分）
（3）解：由图1知，PB=AB=3，QC=7，分别以BA，BC，BB1为x，y，z轴，
则A（3，0，0），C（0，4，0），P（0，0，3），Q（0，4，7）
设平面APQ的法向量为
所以
令a=1，则c=1，b=-1，
所以直线BC与平面APQ所成角的正弦值为
（注）用其他解法可相应给分．
解析
所以AC=5，从而AC2=AB2+BC2，
即AB⊥BC．（2分）
又因为AB⊥BB1，而BC∩BB1=B，
所以AB⊥平面BC1，又PQ⊂平面BC1
所以AB⊥PQ；（4分）
（2）解：过M作MN∥CQ交AQ于N，连接PN，
因为AM：MC=3：4∴AM：AC=MN：CQ=3：7（6分）
∴MN=PB=3，∵PB∥CQ∴MN∥PB，∴四边形PBMN为平行四边形∴BM∥PN，所以BM∥平面APQ（8分）
（3）解：由图1知，PB=AB=3，QC=7，分别以BA，BC，BB1为x，y，z轴，
则A（3，0，0），C（0，4，0），P（0，0，3），Q（0，4，7）
设平面APQ的法向量为
所以
令a=1，则c=1，b=-1，
所以直线BC与平面APQ所成角的正弦值为
（注）用其他解法可相应给分．
将边长为2，一个内角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD，点E，F分别为AC，BD的中点，则下列命题中正确的是______．
①EF∥AB；
②EF⊥BD；
③EF有最大值，无最小值；
④当四面体ABCD的体积最大时，
⑤AC垂直于截面BDE．
正确答案
②④⑤
解析
由等腰三角形的中线性质得 CF⊥BD，AF⊥BD，DB⊥面ACF，
又EF⊂面ACF，
∴EF⊥BD，故②正确．
EF是等腰三角形FAC的底边上的中线，∴EF⊥AC，由于 FA=FC=
斜边AC的长度不定，
故 EF无最大值，也无最小值，故③不正确．
当四面体ABCD的体积最大时，因为等边△ABD的面积为定值，
故面CBD⊥面ABD时，CF为四面体的高，AC=
由DB⊥面ACF 得，DB⊥AC，又EF⊥AC，∴AC⊥面EBD，故⑤正确．
综上，②④⑤正确，
故答案为 ②④⑤．
正确答案
1：2
解析
解：∵EF∥BC
∴△AFE∽△ACB
∴AF：FE=AC：CB
又∵AC=1，BC=2，四边形DEFC为正方形，即FE=FC
∴AF：FC=AC：CB=1：2
故答案为：1：2
如图，△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，CD平分∠ACB，DE∥BC，如果AC=10，BC=15，那么AE=______．
正确答案
4
解析
∴∠ECD=∠DCB，
又∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠DCB，
∴∠EDC=∠ECD，
∴△EDC是等腰三角形．设AE=x，
则ED=EC=AC-AE=10-x．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
∴x=4．
故答案为：4．
（1）求△BEF与△AFD的周长之比；
（2）若S△BEF=6cm2，求S△AFD．
正确答案
解：（1）在平行四边形ABCD中，
∴△BEF∽△AFD，
又∵BE=
∴△BEF与△AFD的周长之比=
（2）由（1）可知：△BEF∽△AFD，且相似比=
∴
∴S△AFD=9S△BEF=9×6=54．
解析
解：（1）在平行四边形ABCD中，
∴△BEF∽△AFD，
又∵BE=
∴△BEF与△AFD的周长之比=
（2）由（1）可知：△BEF∽△AFD，且相似比=
∴
∴S△AFD=9S△BEF=9×6=54．
如图，已知AD∥BE∥CF，下列比例式成立的是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
证明：∵AD∥BE∥CF，
∴根据平行截割定理，可得
∴
故选D．
FG=10cm．求此梯形的面积．
正确答案
∵EG是梯形ABCD的中位线，
∴EG∥DC∥AB．
∴F是AC的中点．
∴DC=2EF=8，AB=2FG=20，MN=DC=8．
在Rt△ADM和Rt△BCN中，
AD=BC，∠DAM=∠CBN，∠AMD=∠BNC=90°，
∴△ADM≌△BCN．
∴AM=BN=
∴DM=
∴S梯形=EG•DM=14×6
解析
∵EG是梯形ABCD的中位线，
∴EG∥DC∥AB．
∴F是AC的中点．
∴DC=2EF=8，AB=2FG=20，MN=DC=8．
在Rt△ADM和Rt△BCN中，
AD=BC，∠DAM=∠CBN，∠AMD=∠BNC=90°，
∴△ADM≌△BCN．
∴AM=BN=
∴DM=
∴S梯形=EG•DM=14×6
正确答案
2
解析
解：∵过P引圆O的两条割线PAB、PCD，
∴PA•PB=PC•PD，
∵PA=AB=
∴
∴PC2+3PC-10=0，
∴（PC-2）（PC+5）=0
∴PC=2或PC=-5（舍去）
故答案为：2
如图，E、F是梯形ABCD的腰AD、BC上的点，其中CD=2AB，EF∥AB，若
正确答案
解析
∴EF2=AB•CD=2AB2，EF=
并且
故答案为：
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