- 抛物线的标准方程和几何性质
- 共238题
20．已知抛物线
（Ⅰ）证明：点
（Ⅱ）设
正确答案
见解析
解析
试题分析：本题属于圆锥曲线中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求（2）要注意对参数的讨论．
（Ⅰ）由题可知
则可设直线
故
则直线
令
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
故
则
故直线
故可设圆心
由
得
所以圆
考查方向
本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系及综合应用，属于高考中的高频考点．
解题思路
本题考查圆锥曲线与直线的位置关系，解题步骤如下：
1、利用e及对称性求a,b。
2、联立直线与椭圆方程求解。
易错点
第二问中表示直线斜率时容易出错。
知识点
20．在平面直角坐标系
（Ⅰ）求椭圆
（Ⅱ）设
正确答案
（Ⅰ）
（Ⅱ）
解析
（Ⅰ）因为
则椭圆方程为
设
当
解得
所以椭圆
（Ⅱ）设曲线
所以直线
将①代入椭圆方程
得
则有
且
所以
设点
所以
当
综上，
考查方向
解题思路
易错点
第一问未能利用|MQ|最大值求出b;第二问运算量较大，代数式化简容易出错。
知识点
13.抛物线
正确答案
解析
设抛物线方程
整理得
设直线与抛物线的两个交点的坐标分别为
由曲线与方程的定义，
由根与系数的关系得出两根之和
由抛物线的定义得出
解得
抛物线方程为
考查方向
解题思路
本题考查抛物线的定义，直线与圆锥曲线的位置关系，解题步骤如下：
（1）设抛物线方程
（2）写出直线的方程
（3）联立方程组由根与系数的关系得出两根之和；
（4）由抛物线的定义得出根与弦长的关系得解。
易错点
本题必须注意充分利用曲线的定义和设而不求，忽视而单纯运算则会出现错误。
知识点
10．若抛物线
正确答案
解析
由方程形式知其焦点坐标
考查方向
解题思路
由方程形式知其焦点坐标和准线方程的正确表达，把焦点坐标代入直线方程可得p的值；由此可得准线方程。
易错点
由于抛物线的标准方程有四类，相对较多学生可能由于识记问题而导致错误。
知识点
5．如图所示，酒杯的杯体轴截面是抛物线x2=2py (p>0)的一部分，若将半径为r(r>0)的玻璃球放入杯中，可以触及酒杯底部（即抛物线的顶点），则r的最大值为（ ）
A
B1
C2
D4
正确答案
解析
试题分析：本题属于圆锥曲线中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难。（1）直接按照步骤来求（2）要注意对参数的讨论（3）涉及恒成立问题，转化成求二次函数的最值，这种思路是一般解法，往往要利用对称轴．
考查方向
本题主要考查了抛物线与圆的位置关系,在近几年的各省高考题出现的频率较低。
解题思路
本题考查抛物线与圆的位置关系，解题步骤如下：
（1）由题可知，已知抛物线上一点（2，2），得抛物线方程为x2=2y。
（2）设小球圆心（0，r），抛物线上点（x，y）
则点（x，y）到圆心距离平方为：r2=x2+（y-r）2=2y+（y-r）2=y2+2（1-r）y+r2
若r2最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底
故此二次函数的对称轴位置应在y轴的左侧，所以1-r≥0，所以r≤1，
所以0＜r≤1，
故答案为：0＜r≤1．
易错点
本题易在判断线是否在面上发生错误。
知识点
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