抛物线的标准方程和几何性质_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知抛物线的焦点为，直线过点交抛物线于两点，且以为直径的圆与直线相切于点.

23.求的方程；

24.若圆与直线相切于点，求直线的方程和圆的方程.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）抛物线的方程为；

解析

试题分析：本题属于抛物线、直线、圆的方程及位置关系考查题型，意在考查考生的分析问题、解决问题的能力及运算能力。

（Ⅰ）设，则，

又∵以为直径的圆与直线相切，

∴，故，

∴抛物线的方程为；

考查方向

本题考查了抛物线的定义及直线与圆的位置关系，考查考生的计算能力和逻辑推理能力。

解题思路

（1）直线过点交抛物线于两点，且以为直径的圆与直线相切于点知，从而得出p的值

（2）通过直线与抛物线相交于A,B，得到以AB为直径的圆的圆心坐标，再通过求出直线方程和圆的方程。

易错点

以为直径的圆与直线相切的转化易推理出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）直线的方程为，即

圆的方程为

解析

试题分析：本题属于抛物线、直线、圆的方程及位置关系考查题型，意在考查考生的分析问题、解决问题的能力及运算能力。

（Ⅱ）设直线的方程为，代入中，

化简整理得，

∴，

∴圆心的坐标为，

∵圆与直线相切于点，

∴，

∴，解得，

此时直线的方程为，即，

圆心，半径，

圆的方程为.

考查方向

本题考查了抛物线的定义及直线与圆的位置关系，考查考生的计算能力和逻辑推理能力。

解题思路

（1）直线过点交抛物线于两点，且以为直径的圆与直线相切于点知，从而得出p的值

（2）通过直线与抛物线相交于A,B，得到以AB为直径的圆的圆心坐标，再通过求出直线方程和圆的方程。

易错点

以为直径的圆与直线相切的转化易推理出错

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

11.已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则

的最小值是（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由题意知，，设，由抛物线的定义知，，所以，当时，，因为，所以，当x=0时，，综上所述，的最小值是，故选C选项。

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的定义、基本不等式求最值等知识，意在考查考生的转化能力和构建函数的意识。

解题思路

1.先根据题意构造函数，2.利用基本不等式求函数的最值。

易错点

1.不会构建函数；2.不会求的最值。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

14. 已知直线l：y=kx+t号圆：x2 +(y+l)2 =1相切且与抛物线C：x2 =4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是____．

正确答案

解析

因为直线与圆相切，所以．又把直线方程代入抛物线方程并整理得，于是由，得或．

考查方向

本题主要考查了直线与圆和抛物线的位置关系，考查考生分析问题和解决问题的能力。

解题思路

先利用直线与圆相切找到k与t之间的关系，再通过直线与抛物线有两个不同的交点求出t的取值范围。

易错点

直线中有两个变量，如何把k转化或者求出。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知点F(0,1)为抛物线的焦点。

24.求抛物线C的方程；

25.点A、B、C是抛物线上三点且,求面积的最大值

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（1）由题意知

考查方向

本题主要考查抛物线的标准准方程，直线与圆锥的关系。

解题思路

1）第一问利用抛物线的定义，可求出，直接得到方程；

2）第二问首先设出三点的坐标，再设出直线与轴交点，进一步求出，根据几何位置关系表示出三角形的面积，再根据基本不等式求出最值及最值成立的条件。

易错点

错位相减法求和计算容易错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（2）令，不妨设直线AB与轴交于点

又因为

从而

令

当时点三点中有两个点重合，所以舍去

当

考查方向

本题主要考查抛物线的标准准方程，直线与圆锥的关系。

解题思路

1）第一问利用抛物线的定义，可求出，直接得到方程；

2）第二问首先设出三点的坐标，再设出直线与轴交点，进一步求出，根据几何位置关系表示出三角形的面积，再根据基本不等式求出最值及最值成立的条件。

易错点

错位相减法求和计算容易错。

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

已知抛物线，为抛物线上的点，若直线经过点且斜率为，则称直线为点的“特征直线”. 设、为方程（）的两个实根，记.

24.求点的“特征直线”的方程；

25.已知点在抛物线上，点的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与轴的交于点，点为线段上的点. 求证：；

26.已知、是抛物线上异于原点的两个不同的点，点、的“特征直线”分别为、，直线、相交于点，且与轴分别交于点、. 求证：点在线段上的充要条件为（其中为点的横坐标）.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）.；

解析

（1）由题意的斜率为1，

所以点的“特征直线”的方程为.

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、充要条件等知识，意在考查考生的理解能力，转化与划归的能力。

解题思路

1根据题意直接求出“特征直线”的方程为.

易错点

1.不理解特征直线的定义导致无法入手；2.证明充要条件时不知道应该证明充分性和必要性。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）.；

解析

设点，由于双曲线所求渐进线的斜率为

所以，进而得

线段的方程为

所以满足

所对应方程为：，解得，

因为，所以，进而

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、充要条件等知识，意在考查考生的理解能力，转化与划归的能力。

解题思路

线根据渐近线方程求出，进而得到点（a,b）满足的方程；

易错点

1.不理解特征直线的定义导致无法入手；2.证明充要条件时不知道应该证明充分性和必要性。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

(3)设，，则、的方程分别为

，，

解、交点可得，，

所对应的方程为：，

得

必要性：因为点在线段上，所以

当时，，得，

所以，进而

① 充分性：由，得，

当时，，得，

当时，得，得，

所以点在线段上.

综上，点在线段上的充要条件为

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、充要条件等知识，意在考查考生的理解能力，转化与划归的能力。

解题思路

先证明结论的充分性，后证明其必要性。

易错点

1.不理解特征直线的定义导致无法入手；2.证明充要条件时不知道应该证明充分性和必要性。

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

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解析

考查方向

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易错点

知识点

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考查方向

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考查方向

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易错点