抛物线的标准方程和几何性质
共238题

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抛物线的标准方程和几何性质
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题型：填空题

填空题 · 4 分

已知抛物线焦点恰好是双曲线的右焦点，且双曲线过点，则该双曲线的渐近线方程为________.

正确答案

解析

略

知识点

双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

抛物线（＞）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）

正确答案

解析

略

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线与双曲线的位置关系

题型：填空题

填空题 · 5 分

在直角坐标系中，点与点关于原点对称，点在抛物线上，且直线与的斜率之积等于，则______。

正确答案

解析

略

知识点

直线的倾斜角与斜率抛物线的标准方程和几何性质

题型：简答题

简答题 · 13 分

设为平面直角坐标系上的两点，其中.令，，若,且，则称点为点的“相关点”，记作：. 已知为平面上一个定点，平面上点列满足：，且点的坐标为，其中.

（1）请问：点的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；

（2）求证：若与重合，一定为偶数；

（3）若，且，记，求的最大值.

正确答案

见解析

解析

（1）因为为非零整数）

故或，所以点的相关点有8个 ………………2分

又因为，即

所以这些可能值对应的点在以为圆心，为半径的圆上 ………………4分

（2）依题意与重合

则，

即，

两式相加得

（*）

因为

故为奇数，

于是（*）的左边就是个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，

所以一定为偶数 ………………8分

（3）令，

依题意，

因为

………………10分

因为有，且为非零整数，

所以当的个数越多，则的值越大，

而且在这个序列中，数字的位置越靠前，则相应的的值越大

而当取值为1或的次数最多时，取2的次数才能最多，的值才能最大。

当时，令所有的都为1，都取2，

则.

当时，

若，

此时，可取个1，个，此时可都取2，达到最大

此时=.

若,令,其余的中有个，个1.

相应的，对于，有,其余的都为2，

则

当时，令

则相应的取

则=+

综上， ………………13分

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

若双曲线的渐近线与抛物线有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）

正确答案

解析

略

知识点

双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知抛物线的焦点坐标为，过的直线交抛物线于两点，直线分别与直线：相交于两点.

（1）求抛物线的方程；

（2）证明△ABO与△MNO的面积之比为定值.

正确答案

见解析

解析

（1）由焦点坐标为可知

所以

所以抛物线的方程为……………………………4分

（2）当直线垂直于轴时，与相似，

所以…………………….…6分

当直线与轴不垂直时，设直线AB方程为………………………7分

设，，，，

解整理得，

所以 …………………………….9分

…………………….14分

综上

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且⊥轴，则双曲线的离心率为。

正确答案

解析

∵直线l的方程分别为：

y =x +1、y =x +1、y =x +1、y = 1、y =x+1、y =x+1、y =x+1，∴原点到它们的距离分别为、、、1、、、所以随机变量ξ的分布列为：

所以Eξ=×+×+×+×1=

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于的点的轨迹，给出下列三个结论：

① 曲线关于轴对称；

② 若点在曲线上，则；

③ 若点在曲线上，则。

其中，所有正确结论的序号是____________。

正确答案

①②③

解析

略

知识点

命题的真假判断与应用抛物线的标准方程和几何性质定义法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点。

（1）若，求直线的斜率；

（2）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值。

正确答案

（1）直线的斜率是

（2）最小值是

解析

（1）解：依题意，设直线方程为，

将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，

设，，所以，， ①

因为，

所以， ②

联立①和②，消去，得，

所以直线的斜率是，

（2）解：由点与原点关于点对称，得是线段的中点，从而点与点到直线的距离相等，

所以四边形的面积等于，

因为

，

所以时，四边形的面积最小，最小值是，

知识点

向量在几何中的应用抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

在平面直角坐标系中,设抛物线的焦点为,准线为为抛物线上一点,,为垂足.如果直线的倾斜角为,那么（）.

正确答案

解析

抛物线的焦点坐标为,准线方程为。因为直线的倾斜角为，所以,又，所以。因为，所以,代入，得，所以.

知识点

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